画像に掲載されている数学の問題を解きます。問題はベクトル、直線、平面に関するものが含まれています。

## 問題の回答

1. 問題の内容

画像に掲載されている数学の問題を解きます。問題はベクトル、直線、平面に関するものが含まれています。

2. 解き方の手順

**(1)**

a = $\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}$, b = $\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(ア) $|a|$

$|a| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+9+4} = \sqrt{14}$

(イ) $3a - 5b$

$3a - 5b = 3\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} - 5\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 9 \\ -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \end{pmatrix}$

(ウ) $(a,b)$

内積 $(a, b) = 1 * 0 + 3 * 1 + (-2) * 1 = 0 + 3 - 2 = 1$

(エ) $\cos \theta$

$\cos \theta = \frac{(a, b)}{|a||b|} = \frac{1}{\sqrt{14} \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2}} = \frac{1}{\sqrt{14} \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{28}} = \frac{1}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{14}$

(オ) $a \times b$

$a \times b = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3*1 - (-2)*1 \\ (-2)*0 - 1*1 \\ 1*1 - 3*0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(カ) $b \times a$

$b \times a = - (a \times b) = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

**(2)**

$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 1 \end{pmatrix}$ と平行な単位ベクトルを2つ求めよ。

まず、与えられたベクトルの大きさを計算する。

$\sqrt{(\frac{1}{\sqrt{3}})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{3} + 1} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

単位ベクトルは $\pm \frac{1}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 1 \end{pmatrix} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ 1 \end{pmatrix} = \pm \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

よって、$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

**(3)**

$x = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

$x$ と $x+cy$ が直交するとき、$x \cdot (x+cy) = 0$

$x \cdot x + c (x \cdot y) = 0$

$x \cdot x = 2^2 + (-1)^2 = 4 + 1 = 5$

$x \cdot y = 2 * 1 + (-1) * (-2) = 2 + 2 = 4$

$5 + 4c = 0$

$c = -\frac{5}{4}$

**(4)**

ベクトル $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$ が作る平行四辺形の面積を求めよ。

面積は行列式 $\left| \det \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix} \right| = |1*1 - 2*2| = |1 - 4| = |-3| = 3$

**(5)**

ベクトルの組 $\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} c \\ 2 \end{pmatrix} \}$ が1次従属になるような実数cの値を求めよ。

2つのベクトルが1次従属であるとき、一方のベクトルがもう一方のベクトルの定数倍で表せる。

$\begin{pmatrix} c \\ 2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

$c = k$

$2 = 3k$

$k = \frac{2}{3}$

$c = \frac{2}{3}$

**(6)**

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$

$x = 1 + 2t$

$y = -1 - 3t$

$t = \frac{x - 1}{2}$

$y = -1 - 3(\frac{x - 1}{2})$

$2y = -2 - 3x + 3$

$2y = 1 - 3x$

$3x + 2y - 1 = 0$

**(7)**

$\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$

$x = 1 + 2t$

$y = -1 + t$

$z = 1 + t$

$y - z = -1 + t - (1 + t) = -2$

$y - z + 2 = 0$

**(9)**

直線l: $\frac{x-2}{2} = \frac{1-y}{3} = z-1$

ベクトル $\begin{pmatrix} a \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ が直線lに平行になるようなa,bの値を求めよ。

$\frac{x-2}{2} = \frac{y-1}{-3} = \frac{z-1}{1}$

$\begin{pmatrix} a \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ と平行である必要がある。

与えられたベクトルは $\begin{pmatrix} a \\ 3 \\ b \end{pmatrix}$ なので、y成分が3であることに注意すると$\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix}$ に $-1$ をかけた $\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$ と比較して $a = -2$、$b = -1$。

また、点(2, c, d) が直線l上の点になるようなc,dの値も求めよ。

$\frac{2-2}{2} = \frac{1-c}{3} = d-1$

$0 = \frac{1-c}{3}$

$1-c = 0$

$c = 1$

$d - 1 = 0$

$d = 1$

**(10)**

ベクトル $\begin{pmatrix} 3 \\ a \\ b \end{pmatrix}$ が平面 $3x - y + 2z = 5$ に垂直になるようなa、bの値を求めよ。

平面の法線ベクトルは $\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 3 \\ a \\ b \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

$3 = 3k$

$k = 1$

$a = -k = -1$

$b = 2k = 2$

**(11)**

a, b, cは平面ベクトルであるとし、ベクトルの組 {a,b}, {b,c}, {c,a} がそれぞれ一次独立であるとする。

このとき、ベクトルの組 {a,b,c} が一次独立か一次従属か答えよ。

一次従属

**(12)**

a, bは空間ベクトルであるとし、ベクトルの組 {a,b} が一次独立であるとする。このとき、ベクトルの組 {a,b,0}が一次独立か一次従属か答えよ。

一次従属

3. 最終的な答え

**(1)**

(ア) $|a| = \sqrt{14}$

(イ) $3a - 5b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -11 \end{pmatrix}$

(ウ) $(a,b) = 1$

(エ) $\cos \theta = \frac{\sqrt{7}}{14}$

(オ) $a \times b = \begin{pmatrix} 5 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$

(カ) $b \times a = \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$

**(2)**

$\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$ と $\begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}$

**(3)**

$c = -\frac{5}{4}$

**(4)**

$3$

**(5)**

$c = \frac{2}{3}$

**(6)**

$3x + 2y - 1 = 0$

**(7)**

$y - z + 2 = 0$

**(9)**

$a = -2$, $b = -1$

$c = 1$, $d = 1$

**(10)**

$a = -1$, $b = 2$

**(11)**

一次従属

**(12)**

一次従属