平面上の直線 $l: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \, (t \in \mathbb{R})$ と原点を中心に平面ベクトルを $\frac{\pi}{3}$ 回転させる変換 $f$ について、以下の問題に答えます。 (1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。 (2) 変換 $f$ の逆変換 $f^{-1}$ の表現行列を求めよ。 (3) 変換 $f$ によって直線 $l$ がどのような直線に移るかを調べ、その直線の傾きと $y$ 切片を求めよ（最終的な答えは有理化しておくこと）。

1. 問題の内容

平面上の直線 $l: \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix} \, (t \in \mathbb{R})$ と原点を中心に平面ベクトルを $\frac{\pi}{3}$ 回転させる変換 $f$ について、以下の問題に答えます。

(1) 直線 $l$ の方程式を求めよ。

(2) 変換 $f$ の逆変換 $f^{-1}$ の表現行列を求めよ。

(3) 変換 $f$ によって直線 $l$ がどのような直線に移るかを調べ、その直線の傾きと $y$ 切片を求めよ（最終的な答えは有理化しておくこと）。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ の方程式を求める。

パラメータ表示された直線の式 $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ から、$t$ を消去して $x, y$ の関係式を導きます。

$x = 1 - t$ より $t = 1 - x$

$y = 3 + 3t$ に代入して $y = 3 + 3(1 - x)$

$y = 3 + 3 - 3x$

$y = 6 - 3x$

よって、$3x + y = 6$

(2) 変換 $f$ の逆変換 $f^{-1}$ の表現行列を求める。

変換 $f$ は原点を中心に $\frac{\pi}{3}$ 回転させる変換であるので、逆変換 $f^{-1}$ は原点を中心に $-\frac{\pi}{3}$ 回転させる変換となります。

回転行列を用いると、$f^{-1}$ の表現行列は

$\begin{pmatrix} \cos(-\frac{\pi}{3}) & -\sin(-\frac{\pi}{3}) \\ \sin(-\frac{\pi}{3}) & \cos(-\frac{\pi}{3}) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(3) 変換 $f$ によって直線 $l$ がどのような直線に移るかを調べる。

$f$ によって、ベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ に移るとすると、$f^{-1}$ によって、ベクトル $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ が $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に移るので、

$\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$

よって、

$x = \frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y' \cdots (1)$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' \cdots (2)$

直線 $l$ 上の点 $(x, y)$ は $3x + y = 6$ を満たすので、この式に (1), (2) を代入すると、

$3 (\frac{1}{2}x' + \frac{\sqrt{3}}{2}y') + (-\frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y') = 6$

$\frac{3}{2}x' + \frac{3\sqrt{3}}{2}y' - \frac{\sqrt{3}}{2}x' + \frac{1}{2}y' = 6$

$(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2})x' + (\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2})y' = 6$

$\frac{3 - \sqrt{3}}{2}x' + \frac{3\sqrt{3} + 1}{2}y' = 6$

$(3 - \sqrt{3})x' + (3\sqrt{3} + 1)y' = 12$

$(3\sqrt{3} + 1)y' = -(3 - \sqrt{3})x' + 12$

$y' = -\frac{3 - \sqrt{3}}{3\sqrt{3} + 1}x' + \frac{12}{3\sqrt{3} + 1}$

有理化を行う。

$-\frac{3 - \sqrt{3}}{3\sqrt{3} + 1} = -\frac{(3 - \sqrt{3})(3\sqrt{3} - 1)}{(3\sqrt{3} + 1)(3\sqrt{3} - 1)} = -\frac{9\sqrt{3} - 3 - 9 + \sqrt{3}}{27 - 1} = -\frac{10\sqrt{3} - 12}{26} = -\frac{5\sqrt{3} - 6}{13} = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}$

$\frac{12}{3\sqrt{3} + 1} = \frac{12(3\sqrt{3} - 1)}{(3\sqrt{3} + 1)(3\sqrt{3} - 1)} = \frac{12(3\sqrt{3} - 1)}{26} = \frac{6(3\sqrt{3} - 1)}{13}$

よって、$y' = \frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}x' + \frac{6(3\sqrt{3} - 1)}{13}$

3. 最終的な答え

(1) $3x + y = 6$

(2) $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(3) 傾きは $\frac{6 - 5\sqrt{3}}{13}$、$y$ 切片は $\frac{6(3\sqrt{3} - 1)}{13}$