100円硬貨、50円硬貨、10円硬貨を使って、ちょうど200円を支払う方法は何通りあるか。硬貨はそれぞれ何枚使ってもよいし、使わない硬貨があってもよいとする。

はい、承知しました。それでは、画像にある問題のうち、問題7, 8, 9, 10, 11, 12を解いていきます。

**問題7**

1. 問題の内容

100円硬貨、50円硬貨、10円硬貨を使って、ちょうど200円を支払う方法は何通りあるか。硬貨はそれぞれ何枚使ってもよいし、使わない硬貨があってもよいとする。

2. 解き方の手順

100円硬貨の枚数で場合分けして考える。

- 100円硬貨を2枚使う場合：50円硬貨、10円硬貨は0枚。1通り。

- 100円硬貨を1枚使う場合：

- 50円硬貨を2枚使う場合：10円硬貨は0枚。1通り。

- 50円硬貨を1枚使う場合：10円硬貨は5枚。1通り。

- 50円硬貨を0枚使う場合：10円硬貨は10枚。1通り。

- 100円硬貨を0枚使う場合：

- 50円硬貨を4枚使う場合：10円硬貨は0枚。1通り。

- 50円硬貨を3枚使う場合：10円硬貨は5枚。1通り。

- 50円硬貨を2枚使う場合：10円硬貨は10枚。1通り。

- 50円硬貨を1枚使う場合：10円硬貨は15枚。1通り。

- 50円硬貨を0枚使う場合：10円硬貨は20枚。1通り。

したがって、合計で1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9通り。

3. 最終的な答え

9通り

**問題8**

1. 問題の内容

5個の数字0, 1, 2, 3, 4を使って4桁の数を作る。

(1) 各桁の数字が異なるとき、奇数は何個作れるか。

(2) 各桁の数字に重複を許すとき、偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4桁の数字を作る際に、各桁の数字が異なる場合、奇数の個数を求めます。

- 一の位は1または3なので、2通り。

- 千の位は0以外なので、残り4個から選びます。ただし、一の位で使用した数字は除きます。もし一の位が1または3ならば千の位の候補は3通りです。

- 百の位は残り3個から1つ選びます。

- 十の位は残り2個から1つ選びます。

- 一の位が1または3の場合: 千の位は3通り、百の位は3通り、十の位は2通りなので、 $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$通り。

(2) 各桁の数字に重複を許すとき、偶数の個数を求めます。

- 全体の個数は千の位は0以外なので4通り、残りは5通りなので、$4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$通り。

- 奇数の個数は千の位は0以外なので4通り、百の位、十の位は5通り、一の位は1,3なので2通り。$4 \times 5 \times 5 \times 2 = 200$通り。

- 偶数は全体から奇数を引けばよいので、$500 - 200 = 300$通り。

3. 最終的な答え

(1) 36個

(2) 300個

**問題9**

1. 問題の内容

1から12までの番号を1つずつ書いた12枚のカードの中から5枚を選ぶとき、次のような選び方は何通りあるか。

(1) 3枚は奇数、2枚は偶数を選ぶ

(2) 少なくとも1枚は偶数を選ぶ

2. 解き方の手順

(1) 1から12までの数字のうち、奇数は6枚、偶数も6枚です。

- 奇数3枚の選び方は $_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通り。

- 偶数2枚の選び方は $_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

- よって、$20 \times 15 = 300$通り。

(2) 少なくとも1枚は偶数を選ぶ場合は、全体からすべて奇数を選ぶ場合を引けばよいです。

- 全体の選び方は $_{12}C_{5} = \frac{12!}{5!7!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$通り。

- すべて奇数を選ぶ選び方は $_{6}C_{5} = \frac{6!}{5!1!} = 6$通り。

- よって、$792 - 6 = 786$通り。

3. 最終的な答え

(1) 300通り

(2) 786通り

**問題10**

1. 問題の内容

4本の平行線とそれらに交わる5本の平行線がある。これらの平行線によって作られる平行四辺形は、全部で何個あるか。

2. 解き方の手順

平行四辺形は、2本の平行線と、それらに交わる別の2本の平行線を選ぶことで作られます。

- 4本の平行線から2本を選ぶ方法は $_{4}C_{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

- 5本の平行線から2本を選ぶ方法は $_{5}C_{2} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

- よって、$6 \times 10 = 60$個。

3. 最終的な答え

60個

**問題11**

1. 問題の内容

BANANAの6文字を1列に並べるとき、次の問いに答えよ。

(1) 並べ方は全部で何通りあるか。

(2) Nが両端にくる並べ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) BANANAの6文字のうち、Aが3個、Nが2個、Bが1個です。

全体の並べ方は$\frac{6!}{3!2!1!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)(1)} = \frac{720}{12} = 60$通り。

(2) Nが両端に来る場合、残りの4文字（B, A, A, A）を並べることになります。

並べ方は$\frac{4!}{3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{3 \times 2 \times 1} = 4$通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 4通り

**問題12**

1. 問題の内容

色が異なる8個の玉を次のように分ける方法は何通りあるか。

(1) A, Bの2つの箱に3個ずつ、Cの箱に2個入れる。

(2) 3個, 3個, 2個の3つの組に分ける。

2. 解き方の手順

(1) 8個からAに入れる3個を選ぶ方法は $_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$通り。

残りの5個からBに入れる3個を選ぶ方法は $_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

残りの2個をCに入れる方法は $_{2}C_{2} = 1$通り。

よって、$56 \times 10 \times 1 = 560$通り。

(2) 8個から3個を選ぶ方法は $_{8}C_{3} = \frac{8!}{3!5!} = 56$通り。

残りの5個から3個を選ぶ方法は $_{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = 10$通り。

残りの2個を選ぶ方法は $_{2}C_{2} = 1$通り。

3個、3個の組は区別しないので、2!で割る必要があります。

よって、$56 \times 10 \times 1 / 2! = 560 / 2 = 280$通り。

3. 最終的な答え

(1) 560通り

(2) 280通り