$\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ は何通りあるか求める問題です。

1. 問題の内容

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ の値が整数となるような自然数 $n$ は何通りあるか求める問題です。

2. 解き方の手順

$\sqrt{\frac{540}{n}}$ が整数になるためには、$\frac{540}{n}$ が整数の二乗になる必要があります。つまり、ある整数 $k$ が存在して、$\frac{540}{n} = k^2$ となる必要があります。

まず、540を素因数分解します。

$540 = 2^2 \times 3^3 \times 5$

したがって、$\frac{540}{n} = \frac{2^2 \times 3^3 \times 5}{n} = k^2$ となります。

$n$ は $540$ の約数である必要があります。$\frac{540}{n}$ が平方数となるためには、$n$ は $2^a \times 3^b \times 5^c$ ( $a$, $b$, $c$ は整数) の形で表されなければならず、$\frac{540}{n} = 2^{2-a} \times 3^{3-b} \times 5^{1-c}$ が平方数になるためには、$2-a$, $3-b$, $1-c$ が偶数である必要があります。

$2-a$ が偶数になるためには、$a$ は 0 または 2 です。

$3-b$ が偶数になるためには、$b$ は 1 または 3 です。

$1-c$ が偶数になるためには、$c$ は 1 です。

したがって、$n$ は $2^0 \times 3^1 \times 5^1 = 15$, $2^0 \times 3^3 \times 5^1 = 135$, $2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 60$, $2^2 \times 3^3 \times 5^1 = 540$ となります。

したがって、$n$ は $2^a3^b5^c$ の形で、$a \in \{0, 2\}$, $b \in \{1, 3\}$, $c \in \{1\}$ であり、組み合わせの数は $2 \times 2 \times 1 = 4$ 通りです。

3. 最終的な答え

4通り