5種類の数字0, 1, 2, 3, 4を使って、重複を許して5桁の数を作る。 (1) 5桁の数は何個できるか。 (2) 偶数は何個できるか。

1. 問題の内容

5種類の数字0, 1, 2, 3, 4を使って、重複を許して5桁の数を作る。

(1) 5桁の数は何個できるか。

(2) 偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の数

5桁の数を作るので、先頭の桁は0以外でなければならない。

- 先頭の桁は1, 2, 3, 4のいずれかなので、4通りの選択肢がある。

- 残りの4桁は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選択肢がある。

よって、5桁の数は $4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 4 \times 5^4$ 個できる。

(2) 偶数

5桁の偶数を作る。

- 一の位が0, 2, 4のいずれかであれば、偶数となる。

- 一の位が0の場合:

- 先頭の桁は0以外なので、4通りの選択肢がある。

- 残りの3桁は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選択肢がある。

- 一の位は0なので1通り。

- よって、$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 1 = 4 \times 5^3$ 個できる。

- 一の位が2または4の場合:

- 先頭の桁は0以外なので、4通りの選択肢がある。ただし、一の位に2または4が使われているので場合分けが必要。

- 全体の場合の数から、先頭が0となる場合を除く

- 先頭が0となる場合は、残りの3桁は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選択肢がある。

- 一の位は2または4なので2通り。

- したがって、先頭が0となるものは、$5 \times 5 \times 5 \times 2 = 2 \times 5^3$となる。ただし先頭の桁が0以外なので、5通りの選択肢がある。

- 末尾が2または4の偶数なので2通り。

- 先頭の桁は0以外なので、4通りの選択肢がある。

- 残りの3桁は0, 1, 2, 3, 4のいずれでも良いので、それぞれ5通りの選択肢がある。

- よって、$4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 2$ 個できる。

ただし、この中には先頭が0の場合が含まれている。先頭が0である数は $5 \times 5 \times 5 \times 2 = 250$ 個ある。

したがって、先頭が0でない数は $4 \times 5^3 \times 2 - 5^3 \times 2 = 3 \times 5^3 \times 2 = 750$個。

一の位が0のとき：$4 \times 5^3 = 500$個

一の位が2または4のとき：

先頭の桁は0以外なので4通り。 残りの桁は5通り。 末尾の桁は2通り。

$4 \times 5^3 \times 2 = 1000$

ただし、先頭が0の場合を除く。 先頭が0の場合は $5^3 \times 2 = 250$

したがって、$1000-250 = 750$個

よって、$500 + 750 = 1250$個

3. 最終的な答え

(1) 5桁の数：2500 個

(2) 偶数：1250 個