5種類の数字0, 1, 2, 3, 4を使って、重複を許して5桁の数を作る。 (1) 5桁の数は何個あるか。 (2) 偶数は何個あるか。

1. 問題の内容

5種類の数字0, 1, 2, 3, 4を使って、重複を許して5桁の数を作る。

(1) 5桁の数は何個あるか。

(2) 偶数は何個あるか。

2. 解き方の手順

(1) 5桁の数

5桁の数を作るので、一番左の桁は0以外でなければならない。

したがって、一番左の桁は1, 2, 3, 4の4通りのいずれかである。

残りの4桁は、それぞれ0, 1, 2, 3, 4の5通りのいずれかである。

よって、5桁の数は $4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5$ で計算できる。

(2) 偶数

5桁の数が偶数であるためには、一番右の桁が0, 2, 4のいずれかである必要がある。

(i) 一番左の桁が0でない場合

一番左の桁は1, 2, 3, 4の4通りのいずれかである。

一番右の桁は0, 2, 4の3通りのいずれかである。

残りの3桁は、それぞれ0, 1, 2, 3, 4の5通りのいずれかである。

したがって、この場合の数は $4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 3$ である。

(ii) 一番左の桁が0である場合

これは5桁の数にならないので、考慮する必要はない。

したがって、偶数の数は $4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 3$ で計算できる。

3. 最終的な答え

(1) 5桁の数：

$4 \times 5^4 = 4 \times 625 = 2500$ 個

(2) 偶数：

一番右の桁が0, 2, 4の場合を考える。

* 一番右の桁が0のとき、残りの4桁は0, 1, 2, 3, 4のいずれか。一番左は0以外なので4通り。したがって $4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500$ 通り。

* 一番右の桁が2または4のとき、残りの4桁は0, 1, 2, 3, 4のいずれか。一番左は0以外なので4通り。したがって $4 \times 5 \times 5 \times 5 \times 2= 1000$ 通り。

5桁の偶数の数は $500 + 1000 = 1500$ 個ではない。

最後の桁が0であるとき、最初の桁は0以外なので、最初の桁は4通りあり、残りの3桁は5通りなので、$4 \times 5^3 = 500$通り。

最後の桁が2または4であるとき、最初の桁が0でない場合、最初の桁は1,3,4のうち2通り。残りの3桁は5通りなので $2 \times 5^3 \times 2 = 500$通り。最初の桁が2または4の場合、$1 \times 5^3 \times 2 = 250$通り。

総数は、$4\times5^4=2500$通り。

最後の桁が0である確率は、$1/5$

最後の桁が2または4である確率は、$2/5$

したがって、$2500 \times 1/5 + 2500 \times 2/5 = 500+1000 = 1500$

最終的な答え：

(1) 2500 個

(2) 1500 個