問題16：正四角錐の5つの面を、赤青黄緑紫の5色すべてを使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して同じになる場合は同じ塗り方とみなす。 問題17：2種類の符号（〇、●）をいくつか1列に並べて記号を作る。 (1) 合計4個の符号を1列に並べるとき、何通りの記号ができるか。 (2) 並べる符号が1個以上4個以下のとき、何通りの記号ができるか。 (3) 100通りの記号を作るためには、〇、●を最小限何個まで並べる必要があるか。

1. 問題の内容

問題16：正四角錐の5つの面を、赤青黄緑紫の5色すべてを使って塗り分ける方法は何通りあるか。ただし、回転して同じになる場合は同じ塗り方とみなす。

問題17：2種類の符号（〇、●）をいくつか1列に並べて記号を作る。

(1) 合計4個の符号を1列に並べるとき、何通りの記号ができるか。

(2) 並べる符号が1個以上4個以下のとき、何通りの記号ができるか。

(3) 100通りの記号を作るためには、〇、●を最小限何個まで並べる必要があるか。

2. 解き方の手順

問題16：

まず、底面の色を決めます。5色から1色を選ぶので、5通りの選び方があります。

次に、側面の4つの面を塗ることを考えます。側面の4つの面は円順列なので、(4-1)! = 3! = 6通りの塗り方があります。

したがって、塗り方の総数は 5 * 6 = 30 通りです。

問題17 (1)：

4個の符号を並べる場合、それぞれの場所に〇か●の2通りの可能性があります。したがって、全部で $2^4 = 16$通りの記号ができます。

問題17 (2)：

1個並べる場合：〇または●の2通り

2個並べる場合：$2^2 = 4$通り

3個並べる場合：$2^3 = 8$通り

4個並べる場合：$2^4 = 16$通り

合計すると、2 + 4 + 8 + 16 = 30通り

問題17 (3)：

n個並べたときの記号の総数は $2^n$通りです。

1個からn個並べたときの総数は、$2^1 + 2^2 + ... + 2^n$ 通りとなります。

これは等比数列の和なので、 $\frac{2(2^n - 1)}{2-1} = 2^{n+1} - 2$ 通りとなります。

100通りを超える最小のnを求めます。

$2^{n+1} - 2 \ge 100$

$2^{n+1} \ge 102$

$n+1 \ge \log_2{102} \approx 6.66$

$n \ge 5.66$

したがって、n=6のとき $2^{6+1} - 2 = 2^7 - 2 = 128 - 2 = 126$通りとなり、100通りを超えるので、最小限6個まで並べる必要があります。

n=5のとき $2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$通り

3. 最終的な答え

問題16：30通り

問題17 (1)：16通り

問題17 (2)：30通り

問題17 (3)：6個