14番の問題は、「$\sqrt{126 - 3n}$ が整数となる自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。」という問題です。 15番の問題は、「$\sqrt{\frac{360}{n}}$ が整数となる自然数 $n$ のうち、もっとも小さいものを求めなさい。」という問題です。 16番の問題は、「$\sqrt{\frac{270 - 3n}{2}}$ が整数となる自然数 $n$ のうち、もっとも小さいものを求めなさい。」という問題です。

1. 問題の内容

14番の問題は、「$\sqrt{126 - 3n}$ が整数となる自然数 $n$ の値をすべて求めなさい。」という問題です。

15番の問題は、「$\sqrt{\frac{360}{n}}$ が整数となる自然数 $n$ のうち、もっとも小さいものを求めなさい。」という問題です。

16番の問題は、「$\sqrt{\frac{270 - 3n}{2}}$ が整数となる自然数 $n$ のうち、もっとも小さいものを求めなさい。」という問題です。

2. 解き方の手順

**14番の問題:**

$\sqrt{126 - 3n}$ が整数となるためには、$126 - 3n$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$126 - 3n = k^2$ ($k$は0以上の整数) となる必要があります。

この式を変形すると、$3n = 126 - k^2$ となり、$n = 42 - \frac{k^2}{3}$ となります。$n$が自然数であるためには、$k^2$が3の倍数でなければなりません。したがって、$k$は3の倍数です。$k=3m$ (mは0以上の整数)とおくと、$n = 42 - \frac{(3m)^2}{3} = 42 - 3m^2$ となります。

$n$ は自然数なので、$42 - 3m^2 > 0$ でなければなりません。

$3m^2 < 42$

$m^2 < 14$

したがって、$m$ は $0, 1, 2, 3$ です。

- $m = 0$ のとき $n = 42 - 3(0)^2 = 42$

- $m = 1$ のとき $n = 42 - 3(1)^2 = 39$

- $m = 2$ のとき $n = 42 - 3(2)^2 = 30$

- $m = 3$ のとき $n = 42 - 3(3)^2 = 15$

**15番の問題:**

$\sqrt{\frac{360}{n}}$ が整数となるためには、$\frac{360}{n}$ が平方数である必要があります。つまり、$\frac{360}{n} = k^2$ ($k$は整数) となる必要があります。$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$です。$\frac{360}{n} = k^2$を満たす$n$を求めるには、$n$は$360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$の約数である必要があり、$\frac{360}{n}$が平方数となる必要があります。$n$が最小となるためには、$\frac{360}{n}$が最大となる必要があります。言い換えると、$\frac{360}{n}$が最大の平方数となる$n$を求めればよいです。$\frac{360}{n}$が平方数となる条件は、$360/n = k^2$とできることです。$n$は、$360 = 2^3 * 3^2 * 5$ の約数である必要があります。

$\frac{360}{n} = k^2$なので、$n = \frac{360}{k^2}$。

ここで、$k^2$は$360$の約数である必要があります。

$360 = 2^3 * 3^2 * 5$

$k^2 = 1, 4, 9, 36$

$k=1$ のとき、$n=360$

$k=2$ のとき、$n=90$

$k=3$ のとき、$n=40$

$k=6$ のとき、$n=10$

最小の$n$は、$n=10$です。

**16番の問題:**

$\sqrt{\frac{270 - 3n}{2}}$ が整数となるためには、$\frac{270 - 3n}{2}$ が0以上の平方数である必要があります。つまり、$\frac{270 - 3n}{2} = k^2$ ($k$は0以上の整数) となる必要があります。

この式を変形すると、$270 - 3n = 2k^2$ となり、$3n = 270 - 2k^2$ 、そして $n = 90 - \frac{2k^2}{3}$ となります。$n$が自然数であるためには、$2k^2$が3の倍数でなければなりません。つまり、$k^2$が3の倍数、よって$k$は3の倍数です。

$k = 3m$ ($m$は0以上の整数)とおくと、$n = 90 - \frac{2(3m)^2}{3} = 90 - 6m^2$ となります。$n$ は自然数なので、$90 - 6m^2 > 0$ でなければなりません。 $6m^2 < 90$, $m^2 < 15$。$n$を最小にするには、$m^2$を最大にすればよいです。なので、$m = \sqrt{15}$より小さい最大の整数である$3$を代入します。よって$m=3$となります。このとき、$n = 90 - 6(3)^2 = 90 - 54 = 36$です。

3. 最終的な答え

14番の答え: 15, 30, 39, 42

15番の答え: 10

16番の答え: 36