$S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + \dots + 19^2$ であるとき、$S$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$S = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + \dots + 19^2$ であるとき、$S$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

この問題は、1から19までの自然数の2乗の和を求める問題です。

自然数の2乗の和の公式を利用します。

自然数の2乗の和の公式は以下の通りです。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

この公式に $n=19$ を代入します。

$S = \sum_{k=1}^{19} k^2 = \frac{19(19+1)(2 \cdot 19+1)}{6}$

$S = \frac{19(20)(38+1)}{6}$

$S = \frac{19(20)(39)}{6}$

$S = \frac{19(20)(39)}{6} = \frac{19 \cdot 20 \cdot 13 \cdot 3}{2 \cdot 3} = 19 \cdot 10 \cdot 13$

$S = 190 \cdot 13 = 190 \cdot (10+3) = 1900 + 570 = 2470$

3. 最終的な答え

$S = 2470$