4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の各条件を満たす $n$ は何個あるかを求めます。 (1) $a > b > c > d$ (2) $a < b < c < d$ (3) $a \geq b > c > d$ (4) $a < b < c \leq d$

1. 問題の内容

4桁の自然数 $n$ の千の位、百の位、十の位、一の位の数字をそれぞれ $a, b, c, d$ とします。次の各条件を満たす $n$ は何個あるかを求めます。

(1) $a > b > c > d$

(2) $a < b < c < d$

(3) $a \geq b > c > d$

(4) $a < b < c \leq d$

2. 解き方の手順

(1) $a > b > c > d$ の場合

$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であり、0から9までの10個の数字から4個選んで大きい順に並べればよいので、組み合わせの問題になります。

したがって、求める個数は $_{10}C_4$ で計算できます。

$_{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 7 = 210$

(2) $a < b < c < d$ の場合

(1)と同様に、$a, b, c, d$ はすべて異なる数字であり、0から9までの10個の数字から4個選んで小さい順に並べればよいので、組み合わせの問題になります。ただし、$a$は0でないため、工夫が必要です。

一旦0から9の10個の数字から4個を選ぶ組み合わせを考えます。$_{10}C_4 = 210$

このうち、$a=0$となるものを除けば良いです。$a=0$となるのは、残りの3つの数字を1から9の中から選ぶ組み合わせなので、$_{9}C_3$になります。

$_{9}C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$

したがって、求める個数は $210 - 84 = 126$ となります。

(3) $a \geq b > c > d$ の場合

まず、$a = b > c > d$となる場合を考えます。この場合、$a$ と $b$ は同じ数字なので、実質的に異なる3つの数字を選ぶことになります。0から9の10個の数字から3個選び、大きいほうから2つを $a$ と $b$ に、残りの2つを $c$ と $d$ に割り当てれば良いので、$_{10}C_3$ となります。

次に、$a > b > c > d$となる場合を考えます。これは(1)で求めた通り、$_{10}C_4$です。

求める個数は、これらの和になります。

$_{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$

$_{10}C_4 = 210$

したがって、求める個数は $120 + 210 = 330$となります。

(4) $a < b < c \leq d$ の場合

まず、$a < b < c < d$となる場合を考えます。これは(2)で求めた通り、$126$です。

次に、$a < b < c = d$となる場合を考えます。この場合、$c$ と $d$ は同じ数字なので、実質的に異なる3つの数字を選ぶことになります。0から9の10個の数字から3個選び、小さいほうから $a, b$ に、一番大きい数字を $c$ と $d$ に割り当てれば良いので、$_{10}C_3$となります。ただし、$a$は0でないため、工夫が必要です。

一旦0から9の10個の数字から3個を選ぶ組み合わせを考えます。$_{10}C_3 = 120$

このうち、$a=0$となるものを除けば良いです。$a=0$となるのは、残りの2つの数字を1から9の中から選ぶ組み合わせなので、$_{9}C_2$になります。

$_{9}C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 9 \times 4 = 36$

したがって、$a < b < c = d$を満たす個数は $120 - 36 = 84$となります。

求める個数は、これらの和になります。

$126 + 84 = 210$

3. 最終的な答え

(1) 210個

(2) 126個

(3) 330個

(4) 210個