正の奇数列を、第 $n$ 区画に $(2n-1)$ 個の項が入るように区切る。このとき、以下の問いに答える。 (1) 第4区画の初項は19, 末項は31, 項数は7である。第4区画に入る数の和を求めよ。 (2) 各区画の最初の数を第5区画まで並べよ。 (3) 第$n$区画の最初の数を求めよ。 (4) 第$n$区画に含まれる項の数を求めよ。 (5) 第$n$区画に入る数の和を求めよ。

1. 問題の内容

正の奇数列を、第 $n$ 区画に $(2n-1)$ 個の項が入るように区切る。このとき、以下の問いに答える。

(1) 第4区画の初項は19, 末項は31, 項数は7である。第4区画に入る数の和を求めよ。

(2) 各区画の最初の数を第5区画まで並べよ。

(3) 第$n$区画の最初の数を求めよ。

(4) 第$n$区画に含まれる項の数を求めよ。

(5) 第$n$区画に入る数の和を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 第4区画の和は、等差数列の和の公式で求める。初項$a = 19$, 末項$l = 31$, 項数$n = 7$ より、

$S_n = \frac{n(a+l)}{2} = \frac{7(19+31)}{2} = \frac{7 \times 50}{2} = 7 \times 25 = 175$

(2) 各区画の最初の数は、

第1区画：1

第2区画：3

第3区画：9

第4区画：19

第5区画：33

(3) 第$n$区画の最初の数を求める。

初項1から始まる奇数列を区切っていくので、第$n$区画の最初の数は、それまでの区画の項数を足し合わせたものに1を加えたものである。

第$k$区画の項数は $2k-1$ なので、第$n$区画の最初の数は

$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 1 + 2\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + n(n-1) - (n-1) = 1 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 2$

または、写真にあるように

$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k-2) = 1 + 4\frac{(n-1)n}{2} - 2(n-1) = 1 + 2n(n-1) - 2(n-1) = 1 + 2n^2 - 2n - 2n + 2 = 2n^2 - 4n + 3$

どちらでも同じですが、$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1)$ を考える方が自然です。

なぜならば、初項1から始まる奇数列の第$k$項は、$2k-1$で表され、各区画に入る項数は$2n-1$なので誤解を生みやすい表現だからです。

$n=1$の時、$1^2 - 2(1) + 2 = 1-2+2 = 1$

$n=2$の時、$2^2 - 2(2) + 2 = 4-4+2 = 2$

$n=3$の時、$3^2 - 2(3) + 2 = 9-6+2 = 5$

このように奇数列にならないため、

写真にある、$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (4k-2)$ の計算が間違っていると考えられます。

**訂正版**

正の奇数の列なので第$k$区画には $(2k-1)$個の項が含まれる。

よって、第$n$区画の最初の項は、

$1 + \sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 1 + 2\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$

$= 1 + 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + (n-1)n - (n-1) = 1 + n^2 - n - n + 1 = n^2 - 2n + 2$

(4) 第$n$区画に含まれる項の数は、$2n-1$。

(5) 第$n$区画に入る数の和を求める。

第$n$区画の最初の数は $n^2 - 2n + 2$ であり、第$n$区画には $2n-1$ 個の項が含まれる。

公差は2の等差数列なので、末項は $(n^2 - 2n + 2) + (2n-1-1) \times 2 = n^2 - 2n + 2 + 4n - 4 = n^2 + 2n - 2$

等差数列の和の公式より、

$S_n = \frac{(2n-1)((n^2 - 2n + 2) + (n^2 + 2n - 2))}{2} = \frac{(2n-1)(2n^2)}{2} = (2n-1)n^2 = 2n^3 - n^2$

3. 最終的な答え

(1) 175

(2) 1, 3, 9, 19, 33

(3) $n^2 - 2n + 2$

(4) $2n-1$

(5) $2n^3 - n^2$