九九の表の一部から取り出した $2 \times 2$ の正方形の4つの整数 $a, b, c, d$ について、以下の2つの問いに答えます。 (1) $(a+d) - (b+c) = 1$ となることを、$a = mn$ を用いて証明します。ただし、$m$ はかけられる数、$n$ はかける数とします。 (2) $a, b, c, d$ の間には、(1)で示した関係のほかに、どのような関係があるか予想し、その結果を証明します。

1. 問題の内容

九九の表の一部から取り出した $2 \times 2$ の正方形の4つの整数 $a, b, c, d$ について、以下の2つの問いに答えます。

(1) $(a+d) - (b+c) = 1$ となることを、$a = mn$ を用いて証明します。ただし、$m$ はかけられる数、$n$ はかける数とします。

(2) $a, b, c, d$ の間には、(1)で示した関係のほかに、どのような関係があるか予想し、その結果を証明します。

2. 解き方の手順

(1) $a = mn$ とすると、

$b = m(n+1)$,

$c = (m+1)n$,

$d = (m+1)(n+1)$

となります。

したがって、

\begin{align*}

(a+d) - (b+c) &= (mn + (m+1)(n+1)) - (m(n+1) + (m+1)n) \\

&= (mn + mn + m + n + 1) - (mn + m + mn + n) \\

&= 2mn + m + n + 1 - 2mn - m - n \\

&= 1

\end{align*}

となり、$(a+d) - (b+c) = 1$ が証明されました。

(2) $ad - bc$ を計算してみます。

\begin{align*}

ad - bc &= mn(m+1)(n+1) - m(n+1)(m+1)n \\

&= mn(mn + m + n + 1) - mn(mn + m + n + 1) \\

&= m^2n^2 + m^2n + mn^2 + mn - m^2n^2 - m^2n - mn^2 - mn \\

&= 0

\end{align*}

よって、$ad = bc$ であると予想できます。

3. 最終的な答え

(1) $(a+d) - (b+c) = 1$ であることの証明は上記の通りです。

(2) $a, b, c, d$ の間には $ad = bc$ という関係があると予想され、その証明は上記の通りです。