先生は分速100mでP地点からQ地点へ、BさんとA君はそれぞれ分速90mと分速80mでQ地点からP地点へ同時に出発しました。途中で先生とBさんがすれ違ってから3分後に先生とA君がすれ違いました。PとQの間の距離を求めます。

1. 問題の内容

先生は分速100mでP地点からQ地点へ、BさんとA君はそれぞれ分速90mと分速80mでQ地点からP地点へ同時に出発しました。途中で先生とBさんがすれ違ってから3分後に先生とA君がすれ違いました。PとQの間の距離を求めます。

2. 解き方の手順

まず、先生とBさんがすれ違った時点を基準として考えます。その時点から3分後に先生とA君がすれ違います。

先生とBさんがすれ違った時点から3分間に、先生が進んだ距離は $100 \times 3 = 300$ メートル、A君が進んだ距離は $80 \times 3 = 240$ メートルです。

先生とBさんがすれ違った場所から、先生とA君がすれ違った場所までの距離は、先生とA君の進んだ距離の合計に等しいので、$300 + 240 = 540$ メートルです。

先生とBさんがすれ違った時点を基準とすると、それ以前に先生が進んだ距離と、Bさんが進んだ距離の合計はPQ間の距離に等しくなります。

先生とBさんがすれ違った時点から3分後に先生とA君がすれ違った時の状況を考えると、

先生とBさんがすれ違った地点から、先生がさらに3分進んだ地点とA君が3分進んだ地点の間の距離は、先ほど求めた540メートルになります。

この540メートルは、Bさんが先生とBさんがすれ違った時点から3分間に進む距離とA君が3分間に進む距離の差に相当します。

先生とBさんがすれ違うまでにかかった時間を$t$分とします。PQ間の距離は、$100t + 90t$ で表されます。また、$100(t+3)+80(t+3)$ は、$PQ + 540$に等しくなります。$100(t+3)+80(t+3) = 180(t+3) = 180t + 540$.

よって、$100t+90t = 190t$

$190t + 540 = 180(t+3) = 180t + 540$.

$10t = 0$ となって矛盾します.

先生とBさんのすれ違い時点を基準として、$t$分後に先生とAさんがすれ違うとすると、

先生は分速100m、Aさんは分速80mなので、$100t + 80t = 180t$.

この距離が先生とBさんがすれ違ってからの3分間に進む距離の差なので、$180t = 540$.

$t = 3$

先生とBさんがすれ違った時点での時間は、$T$分とすると、

PQ間の距離は、$100T+90T = 190T$。

また、$100(T+3)+80(T+3) = 180(T+3) = 180T+540$.

$190T = 180T + 540$

$10T = 540$

$T = 54$

したがって、$PQ = 190T = 190 \times 54 = 10260$

3. 最終的な答え

10260 m