1秒間に $2^{30}$ 回の計算ができる計算機を使って、鍵の長さが $k$ である暗号を解読するのにかかる時間を計算します。解読には $2^k$ 回の計算が必要です。 問1: $k=41$ のとき、解読に何分かかるかを求めます。小数点以下を四捨五入し、整数値で答えます。 問2: 解読に2年以上かかるようにするには、$k$ をどのように設定すればよいかを求めます。$k$ の最小値を整数値で答えます。ただし、1年は365日とします。

1. 問題の内容

1秒間に $2^{30}$ 回の計算ができる計算機を使って、鍵の長さが $k$ である暗号を解読するのにかかる時間を計算します。解読には $2^k$ 回の計算が必要です。

問1: $k=41$ のとき、解読に何分かかるかを求めます。小数点以下を四捨五入し、整数値で答えます。

問2: 解読に2年以上かかるようにするには、$k$ をどのように設定すればよいかを求めます。$k$ の最小値を整数値で答えます。ただし、1年は365日とします。

2. 解き方の手順

問1:

まず、$k=41$ のとき、必要な計算回数は $2^{41}$ 回です。

計算機は1秒間に $2^{30}$ 回の計算ができるので、解読にかかる秒数は $2^{41} / 2^{30} = 2^{41-30} = 2^{11}$ 秒です。

$2^{11} = 2048$ 秒です。

これを分に変換するには、60で割ります: $2048 / 60 \approx 34.133$ 分。

小数点以下を四捨五入すると、34分になります。

問2:

解読に2年以上かかるようにするため、解読にかかる秒数が $2 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60$ 秒以上になる必要があります。

$2 \times 365 \times 24 \times 60 \times 60 = 63072000$ 秒。

解読にかかる秒数は $2^k / 2^{30} = 2^{k-30}$ 秒です。

したがって、$2^{k-30} \geq 63072000$ となる最小の整数 $k$ を求めます。

両辺の対数をとります（底が2の対数）。

$k - 30 \geq \log_2(63072000)$

$\log_2(63072000) \approx 25.91$

$k \geq 30 + 25.91 = 55.91$

$k$ は整数なので、$k \geq 56$ となります。

したがって、$k$ の最小値は56です。

3. 最終的な答え

問1: 34

問2: 56