媒質の振動がx軸の正の向きに速さ20 m/sで伝わる振幅A mの正弦波について、以下の問いに答えます。 (1) 波長$\lambda$、振動数$f$、周期$T$を求めます。 (2) 位置x = 15 mでの変位の時間変化を表すグラフを選択肢から選びます。 (3) 任意の位置x、時刻tにおける媒質の変位y(x, t)を表す式を求めます。 (4) t = 0 sのとき、位置x = 15 mでの変位を求めます。

1. 問題の内容

媒質の振動がx軸の正の向きに速さ20 m/sで伝わる振幅A mの正弦波について、以下の問いに答えます。

(1) 波長$\lambda$、振動数$f$、周期$T$を求めます。

(2) 位置x = 15 mでの変位の時間変化を表すグラフを選択肢から選びます。

(3) 任意の位置x、時刻tにおける媒質の変位y(x, t)を表す式を求めます。

(4) t = 0 sのとき、位置x = 15 mでの変位を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

図3より、波長$\lambda$は$40 m$です。

波の速さ$v$, 波長$\lambda$, 振動数$f$の間には

$v = f\lambda$

の関係があります。よって、$f = \frac{v}{\lambda} = \frac{20}{40} = 0.5 Hz$です。

また、周期$T$は振動数$f$の逆数なので、$T = \frac{1}{f} = \frac{1}{0.5} = 2 s$です。

(2)

x = 15 mの位置では、t = 0 sのとき、変位はA/2です。また、波はx軸の正の方向に進むので、時間が経つにつれて、変位はA/2から大きくなり、Aに近づきます。これらの条件を満たすグラフは④です。

(3)

正弦波の一般的な式は、

$y(x, t) = A\sin(kx - \omega t + \phi)$

で表されます。ここで、$k = \frac{2\pi}{\lambda}$は波数、$\omega = 2\pi f$は角振動数、$\phi$は初期位相です。

$\lambda = 40 m$より、$k = \frac{2\pi}{40} = \frac{\pi}{20} m^{-1}$です。

$f = 0.5 Hz$より、$\omega = 2\pi (0.5) = \pi rad/s$です。

t = 0 sのとき、$y(x, 0) = A\sin(kx + \phi)$です。図3より、x = 0 mのとき、y = 0なので、$A\sin(\phi) = 0$となり、$\phi = 0$です。しかし、xが少し増えるとyが負になるので、$phi= \pi$

よって、$y(x, t) = A\sin(\frac{\pi}{20}x - \pi t)$になります。

(4)

t = 0 sのとき、x = 15 mでの変位は、

$y(15, 0) = A\sin(\frac{\pi}{20}(15) - \pi (0)) = A\sin(\frac{3\pi}{4}) = A\sin(135^\circ) = A\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 波長: 40 m, 振動数: 0.5 Hz, 周期: 2 s

(2) ④

(3) $y(x, t) = A\sin(\frac{\pi}{20}x - \pi t)$

(4) $A\frac{\sqrt{2}}{2}$