地面からの高さ14.7mの地点から、初速度9.8m/sで真上にボールを投げ上げた。重力加速度の大きさを9.8m/s²とする。以下の問いに答える。 (1) ボールが最高点に達するのは、投げ上げてから何秒後か。 (2) 投げた点から最高点までの高さは何mか。 (3) 地面から最高点までの高さは何mか。 (4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。 (5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何m/sか。 (6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。 (7) 地面に落下したときのボールの速さは何m/sか。

1. 問題の内容

地面からの高さ14.7mの地点から、初速度9.8m/sで真上にボールを投げ上げた。重力加速度の大きさを9.8m/s²とする。以下の問いに答える。

(1) ボールが最高点に達するのは、投げ上げてから何秒後か。

(2) 投げた点から最高点までの高さは何mか。

(3) 地面から最高点までの高さは何mか。

(4) 投げた後、再び投げた点に戻るまでの時間は何秒か。

(5) 投げた後、再び投げた点を通過するときの速さは何m/sか。

(6) ボールが地面に達するのは、投げてから何秒後か。

(7) 地面に落下したときのボールの速さは何m/sか。

2. 解き方の手順

(1) 最高点では速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v = v_0 - gt$ を使う。

$0 = 9.8 - 9.8t$

$t = 1$

(2) 等加速度運動の公式 $v^2 - v_0^2 = -2gy$ を使う。

$0^2 - 9.8^2 = -2 * 9.8 * y$

$y = \frac{9.8^2}{2 * 9.8} = \frac{9.8}{2} = 4.9$

(3) 地面から投げ上げた点までの高さが14.7m、投げ上げた点から最高点までの高さが4.9mなので、足し合わせる。

$14.7 + 4.9 = 19.6$

(4) 投げ上げた点を再び通過するとき、変位は0である。等加速度運動の公式 $y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ を使う。

$0 = 9.8t - \frac{1}{2} * 9.8 * t^2$

$0 = 9.8t(1 - \frac{1}{2}t)$

$t = 0, 2$

$t = 2$ (0秒は投げ上げた瞬間なので除く)

(5) 投げ上げた点を再び通過するとき、速さは初速度と等しくなる(向きは逆)。

よって、9.8m/s。

(6) 地面に達するまでの時間を求める。地面を原点として、$y = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$に、$y = 14.7$を代入。

$-14.7 = 9.8t - \frac{1}{2} * 9.8 * t^2$

$4.9t^2 - 9.8t - 14.7 = 0$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

$t = 3$ (t>0)

(7) 地面に落下した時のボールの速度を求める。等加速度運動の公式 $v = v_0 - gt$ を使う。

$v = 9.8 - 9.8 * 3 = 9.8 - 29.4 = -19.6$

3. 最終的な答え

(1) 1.0秒後

(2) 4.9m

(3) 19.6m

(4) 2.0秒

(5) 9.8m/s

(6) 3秒後

(7) 19.6m/s