片持ち梁において、中央に曲げモーメント $M_B = 200 \, \text{Nm}$ が作用し、中央から先端にかけて単位長さあたり $400 \, \text{N/m}$ の等分布荷重が作用している。梁の長さを $l \, \text{m}$ とする。以下の問題を解き、せん断力図（SFD）と曲げモーメント図（BMD）を描く。 (1) 壁の反力 $R_A$ と固定モーメント $M_A$ を求める。 (2) AB間 $(0 \leq x \leq l/2)$ の任意の点におけるせん断力 $F_{AB}$ と曲げモーメント $M_{AB}$ を求める。 (3) BC間 $(l/2 \leq x \leq l)$ の任意の点におけるせん断力 $F_{BC}$ と曲げモーメント $M_{BC}$ を求める。

はい、承知いたしました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

片持ち梁において、中央に曲げモーメント $M_B = 200 \, \text{Nm}$ が作用し、中央から先端にかけて単位長さあたり $400 \, \text{N/m}$ の等分布荷重が作用している。梁の長さを $l \, \text{m}$ とする。以下の問題を解き、せん断力図（SFD）と曲げモーメント図（BMD）を描く。

(1) 壁の反力 $R_A$ と固定モーメント $M_A$ を求める。

(2) AB間 $(0 \leq x \leq l/2)$ の任意の点におけるせん断力 $F_{AB}$ と曲げモーメント $M_{AB}$ を求める。

(3) BC間 $(l/2 \leq x \leq l)$ の任意の点におけるせん断力 $F_{BC}$ と曲げモーメント $M_{BC}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 壁の反力 $R_A$ と固定モーメント $M_A$ を求める。

まず、力のつり合いから $R_A$ を求める。

$\sum F_y = 0$ より、

$R_A - 400 \times \frac{l}{2} = 0$

$R_A = 200l$

次に、モーメントのつり合いから $M_A$ を求める。A点まわりのモーメントのつり合いを考えると、

$\sum M_A = 0$ より、

$-M_A - M_B - 400 \times \frac{l}{2} \times \frac{l}{4} = 0$

$-M_A - 200 - 400 \times \frac{l^2}{8} = 0$

$-M_A - 200 - 50l^2 = 0$

$M_A = -200 - 50l^2$

(2) AB間 $(0 \leq x \leq l/2)$ のせん断力 $F_{AB}$ と曲げモーメント $M_{AB}$ を求める。

AB間の任意の点xにおいて、力のつり合いとモーメントのつり合いを考える。

せん断力: $F_{AB} = R_A = 200l$

曲げモーメント: $M_{AB} = M_A + R_A \times x = -200 - 50l^2 + 200lx = 200lx - 50l^2 - 200$

(3) BC間 $(l/2 \leq x \leq l)$ のせん断力 $F_{BC}$ と曲げモーメント $M_{BC}$ を求める。

BC間の任意の点xにおいて、力のつり合いとモーメントのつり合いを考える。

距離の起点をB点とするために、$x' = x - \frac{l}{2}$とおく

せん断力: $F_{BC} = -400x'$

曲げモーメント: $M_{BC} = M_B - 400x' \times \frac{x'}{2} = 200 - 200x'^2 = 200 - 200(x-\frac{l}{2})^2$

3. 最終的な答え

(1) 壁の反力 $R_A = 200l \, \text{N}$

固定モーメント $M_A = -200 - 50l^2 \, \text{Nm}$

(2) AB間のせん断力 $F_{AB} = 200l \, \text{N}$

AB間の曲げモーメント $M_{AB} = 200lx - 50l^2 - 200 \, \text{Nm}$

(3) BC間のせん断力 $F_{BC} = -400(x-\frac{l}{2}) \, \text{N}$

BC間の曲げモーメント $M_{BC} = 200 - 200(x-\frac{l}{2})^2 \, \text{Nm}$