高さ14.7mの地点から水平方向に9.8m/sの速さで小球を投げ出した。 (1) 小球が地面に落下するまでの時間 (2) 投げた点から落下した地面までの水平距離 (3) 落下点での速度の鉛直成分 (4) 落下点での速さ をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

高さ14.7mの地点から水平方向に9.8m/sの速さで小球を投げ出した。

(1) 小球が地面に落下するまでの時間

(2) 投げた点から落下した地面までの水平距離

(3) 落下点での速度の鉛直成分

(4) 落下点での速さ

をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

(1) 落下時間：

鉛直方向の運動は自由落下とみなせる。初期鉛直速度は0なので、落下距離$y$は以下の式で表される。

$y = \frac{1}{2}gt^2$

ここで、$y = 14.7\text{ m}$、$g = 9.8\text{ m/s}^2$である。

$14.7 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$

$t^2 = \frac{14.7 \times 2}{9.8} = \frac{29.4}{9.8} = 3$

$t = \sqrt{3} \approx 1.73\text{ s}$

(2) 水平距離：

水平方向には等速運動をする。水平速度$v_x = 9.8\text{ m/s}$、落下時間$t = \sqrt{3}\text{ s}$なので、水平距離$x$は以下の式で求められる。

$x = v_x t = 9.8 \times \sqrt{3} \approx 9.8 \times 1.73 = 16.954 \approx 17\text{ m}$

(3) 鉛直速度：

落下点での鉛直速度$v_y$は、等加速度運動の式$v_y = v_{0y} + gt$で求められる。初期鉛直速度$v_{0y} = 0$なので、

$v_y = gt = 9.8 \times \sqrt{3} \approx 9.8 \times 1.73 = 16.954 \approx 17\text{ m/s}$

(4) 落下点での速さ：

落下点での速さ$v$は、水平速度$v_x$と鉛直速度$v_y$のベクトル和の大きさで求められる。

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(9.8)^2 + (9.8\sqrt{3})^2} = \sqrt{(9.8)^2 + 3(9.8)^2} = \sqrt{4(9.8)^2} = 2 \times 9.8 = 19.6\text{ m/s}$

3. 最終的な答え

(1) 落下時間: 約1.73秒

(2) 水平距離: 約17m

(3) 鉛直速度: 約17m/s

(4) 落下点での速さ: 19.6m/s