ベクトル場 $\vec{A}(\vec{r}) = yz\vec{i} + 2zx\vec{j} + 3xy\vec{k}$ の線積分を、以下の3つの経路 $C_1, C_2, C_3$ に沿って計算します。 (1) $C_1$: $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ への線分 (2) $C_2$: $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ を通り $(1,1,1)$ への折れ線 (3) $C_3$: $\vec{r}(t) = t\vec{i} + t\vec{j} + t^2\vec{k}$ (ただし $0 \le t \le 1$)

1. 問題の内容

ベクトル場 $\vec{A}(\vec{r}) = yz\vec{i} + 2zx\vec{j} + 3xy\vec{k}$ の線積分を、以下の3つの経路 $C_1, C_2, C_3$ に沿って計算します。

(1) $C_1$: $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ への線分

(2) $C_2$: $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ を通り $(1,1,1)$ への折れ線

(3) $C_3$: $\vec{r}(t) = t\vec{i} + t\vec{j} + t^2\vec{k}$ (ただし $0 \le t \le 1$)

2. 解き方の手順

(1) $C_1$：

$C_1$は $(0,0,0)$ から $(1,1,1)$ への線分なので、パラメータ表示すると $\vec{r}(t) = t\vec{i} + t\vec{j} + t\vec{k}$ (ただし $0 \le t \le 1$) となります。

したがって、$x = t, y = t, z = t$ なので、$dx = dt, dy = dt, dz = dt$。

$\vec{A}(\vec{r}(t)) = t^2\vec{i} + 2t^2\vec{j} + 3t^2\vec{k}$

$\int_{C_1} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (t^2, 2t^2, 3t^2) \cdot (1, 1, 1) dt = \int_0^1 (t^2 + 2t^2 + 3t^2) dt = \int_0^1 6t^2 dt = [2t^3]_0^1 = 2$

(2) $C_2$：

$C_2$は $(0,0,0)$ から $(0,0,1)$ への線分 $C_{2a}$ と、$(0,0,1)$ から $(1,1,1)$ への線分 $C_{2b}$ の2つの線分に分けられます。

$C_{2a}$: $\vec{r}(t) = (0, 0, t)$ (ただし $0 \le t \le 1$)。したがって $x=0, y=0, z=t$, $dx = 0, dy = 0, dz = dt$。

$\vec{A}(\vec{r}(t)) = (0, 0, 0)$。

$\int_{C_{2a}} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (0, 0, 0) \cdot (0, 0, 1) dt = 0$

$C_{2b}$: $\vec{r}(t) = (t, t, 1)$ (ただし $0 \le t \le 1$)。したがって $x=t, y=t, z=1$, $dx = dt, dy = dt, dz = 0$。

$\vec{A}(\vec{r}(t)) = (t, 2t, 3t^2)$

$\int_{C_{2b}} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (t, 2t, 3t^2) \cdot (1, 1, 0) dt = \int_0^1 (t + 2t) dt = \int_0^1 3t dt = [\frac{3}{2}t^2]_0^1 = \frac{3}{2}$

$\int_{C_2} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_{C_{2a}} \vec{A} \cdot d\vec{r} + \int_{C_{2b}} \vec{A} \cdot d\vec{r} = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

(3) $C_3$：

$\vec{r}(t) = t\vec{i} + t\vec{j} + t^2\vec{k}$ (ただし $0 \le t \le 1$)。したがって $x=t, y=t, z=t^2$, $dx = dt, dy = dt, dz = 2tdt$。

$\vec{A}(\vec{r}(t)) = (t^3, 2t^3, 3t^2)$

$\int_{C_3} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \int_0^1 (t^3, 2t^3, 3t^2) \cdot (1, 1, 2t) dt = \int_0^1 (t^3 + 2t^3 + 6t^3) dt = \int_0^1 9t^3 dt = [\frac{9}{4}t^4]_0^1 = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $\int_{C_1} \vec{A} \cdot d\vec{r} = 2$

(2) $\int_{C_2} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \frac{3}{2}$

(3) $\int_{C_3} \vec{A} \cdot d\vec{r} = \frac{9}{4}$