高校1年生が3人、高校2年生が5人いる。この中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。 (1) 1年生2人と2年生2人を選ぶ。 (2) 1年生が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

1. 問題の内容

高校1年生が3人、高校2年生が5人いる。この中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方は何通りあるか。

(1) 1年生2人と2年生2人を選ぶ。

(2) 1年生が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 1年生2人と2年生2人を選ぶ場合

1年生3人の中から2人を選ぶ組み合わせの数は、$_3C_2$通り。

2年生5人の中から2人を選ぶ組み合わせの数は、$_5C_2$通り。

したがって、1年生2人と2年生2人を選ぶ組み合わせの数は、積の法則より、$_3C_2 \times _5C_2$通り。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

$_3C_2 \times _5C_2 = 3 \times 10 = 30$

(2) 1年生が少なくとも1人含まれるように選ぶ場合

全体の選び方から1年生が1人も含まれない選び方を引けば良い。

全体の選び方は、8人から4人を選ぶので、$_8C_4$通り。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

1年生が1人も含まれない選び方は、2年生5人から4人を選ぶので、$_5C_4$通り。

$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(1)} = 5$

したがって、1年生が少なくとも1人含まれる選び方は、$70 - 5 = 65$通り。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り