高校1年生3人、高校2年生5人の中から4人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。 (1) 1年生2人と2年生2人を選ぶ。 (2) 1年生が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

1. 問題の内容

高校1年生3人、高校2年生5人の中から4人を選ぶとき、以下の選び方は何通りあるか。

(1) 1年生2人と2年生2人を選ぶ。

(2) 1年生が少なくとも1人は含まれるように選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 1年生2人と2年生2人を選ぶ場合

1年生3人から2人を選ぶ組み合わせは $_3C_2$ 通り。

2年生5人から2人を選ぶ組み合わせは $_5C_2$ 通り。

したがって、求める組み合わせの数は $_3C_2 \times _5C_2$ で計算できる。

$_3C_2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3$

$_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

求める組み合わせの数は $3 \times 10 = 30$ 通り

(2) 1年生が少なくとも1人は含まれるように選ぶ場合

まず、全員（8人）から4人を選ぶ組み合わせの総数を計算する。これは $_8C_4$ 通り。

$_8C_4 = \frac{8!}{4!(8-4)!} = \frac{8!}{4!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4!}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$

次に、1年生が1人も含まれない場合（つまり2年生5人から4人を選ぶ）の組み合わせ数を計算する。これは $_5C_4$ 通り。

$_5C_4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 5$

1年生が少なくとも1人含まれる組み合わせ数は、全体の組み合わせ数から1年生が1人も含まれない組み合わせ数を引いたものになる。

$70 - 5 = 65$

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) 65通り