8人を以下の条件でグループ分けする場合の数を求めます。 (1) 8人をA, B, C, Dの4つのグループに、各グループ2人ずつ分ける。 (2) 8人を2人ずつの4つのグループに分ける。 (3) 8人を3人、3人、2人の3つのグループに分ける。

1. 問題の内容

8人を以下の条件でグループ分けする場合の数を求めます。

(1) 8人をA, B, C, Dの4つのグループに、各グループ2人ずつ分ける。

(2) 8人を2人ずつの4つのグループに分ける。

(3) 8人を3人、3人、2人の3つのグループに分ける。

2. 解き方の手順

(1) A, B, C, D の順に2人ずつ選んでいく方法を考えます。

まずAに入れる2人の選び方は $_8C_2$ 通り。

次にBに入れる2人の選び方は残りの6人から選ぶので $_6C_2$ 通り。

Cに入れる2人の選び方は残りの4人から選ぶので $_4C_2$ 通り。

最後にDに入れる2人は残りの2人なので $_2C_2 = 1$ 通り。

したがって、選び方は $_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2$ 通り。

計算すると、

$$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = 28 \times 15 \times 6 \times 1 = 2520$$

(2) 2人ずつの4つのグループに分ける場合は、グループの区別がないため、(1)で計算した数からグループの並び順の数 $4!$ で割る必要があります。

$$\frac{_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 \times _2C_2}{4!} = \frac{2520}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{2520}{24} = 105$$

(3) 3人、3人、2人の3つのグループに分ける場合を考えます。

まず3人のグループを選ぶ方法は $_8C_3$ 通り。

次に残りの5人からもう一方の3人のグループを選ぶ方法は $_5C_3$ 通り。

最後に残りの2人で2人のグループを作る方法は $_2C_2 = 1$ 通り。

3人のグループが区別されないので、グループの並び順の数 $2!$ で割る必要があります。

$$\frac{_8C_3 \times _5C_3 \times _2C_2}{2!} = \frac{\frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} \times 1}{2} = \frac{56 \times 10}{2} = \frac{560}{2} = 280$$

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 105通り

(3) 280通り