与えられた式 $2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6$ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$の2次式として式を整理します。

$2x^2 + (-5y+1)x + (-3y^2 + 11y - 6)$

次に、$x$の係数と定数項をそれぞれ因数分解します。

$-5y+1$ はそのまま。

$-3y^2 + 11y - 6 = -(3y^2 - 11y + 6) = -(3y-2)(y-3)$

次に、$2x^2 + (-5y+1)x + (-3y^2 + 11y - 6)$ が $(ax+by+c)(dx+ey+f)$ の形に因数分解できると仮定し、$2x^2$ の係数、定数項の因数分解の結果から $a, b, c, d, e, f$ を推測します。

定数項が $-(3y-2)(y-3)$ であることから、

$(2x + y + A)(x - 3y + B)$ か $(2x - 3y + A)(x + y + B)$ の形になると推測できます。

$(2x + y + A)(x - 3y + B) = 2x^2 - 6xy + 2Bx + xy - 3y^2 + By + Ax - 3Ay + AB = 2x^2 - 5xy - 3y^2 + (2B+A)x + (B-3A)y + AB$

係数を比較すると、

$2B + A = 1$

$B - 3A = 11$

$AB = -6$

この連立方程式を解きます。

$2B + A = 1$ より $A = 1 - 2B$

$B - 3A = 11$ に代入して、$B - 3(1 - 2B) = 11$

$B - 3 + 6B = 11$

$7B = 14$

$B = 2$

$A = 1 - 2(2) = 1 - 4 = -3$

$AB = (-3)(2) = -6$ であり、条件を満たします。

したがって、因数分解の結果は $(2x + y - 3)(x - 3y + 2)$ となります。

3. 最終的な答え

$(2x + y - 3)(x - 3y + 2)$