与えられた3つの4次式 $x^4 - 3x^2 + 2$, $6x^4 - 7x^2 - 3$, $x^4 + 4$ をそれぞれ、有理数、実数、複素数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた3つの4次式 $x^4 - 3x^2 + 2$, $6x^4 - 7x^2 - 3$, $x^4 + 4$ をそれぞれ、有理数、実数、複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

(1) $x^4 - 3x^2 + 2$

$x^2 = t$ と置換すると、

$t^2 - 3t + 2 = (t-1)(t-2)$

したがって、

$x^4 - 3x^2 + 2 = (x^2 - 1)(x^2 - 2) = (x-1)(x+1)(x^2 - 2)$

有理数の範囲では、$(x-1)(x+1)(x^2-2)$

実数の範囲では、$(x-1)(x+1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

複素数の範囲では、$(x-1)(x+1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

(2) $6x^4 - 7x^2 - 3$

$x^2 = t$ と置換すると、

$6t^2 - 7t - 3 = (2t - 3)(3t + 1)$

したがって、

$6x^4 - 7x^2 - 3 = (2x^2 - 3)(3x^2 + 1)$

有理数の範囲では、$(2x^2-3)(3x^2+1)$

実数の範囲では、$(\sqrt{2}x - \sqrt{3})(\sqrt{2}x + \sqrt{3})(3x^2 + 1)$

複素数の範囲では、$(\sqrt{2}x - \sqrt{3})(\sqrt{2}x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x - i)(\sqrt{3}x + i)$

(3) $x^4 + 4$

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

有理数の範囲では、$(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

実数の範囲では、$(x^2+2x+2)(x^2-2x+2)$

$x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 = (x+1-i)(x+1+i)$

$x^2 - 2x + 2 = (x-1)^2 + 1 = (x-1-i)(x-1+i)$

複素数の範囲では、$(x+1-i)(x+1+i)(x-1-i)(x-1+i)$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 3x^2 + 2$

有理数：$(x-1)(x+1)(x^2 - 2)$

実数：$(x-1)(x+1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

複素数：$(x-1)(x+1)(x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})$

(2) $6x^4 - 7x^2 - 3$

有理数：$(2x^2 - 3)(3x^2 + 1)$

実数：$(\sqrt{2}x - \sqrt{3})(\sqrt{2}x + \sqrt{3})(3x^2 + 1)$

複素数：$(\sqrt{2}x - \sqrt{3})(\sqrt{2}x + \sqrt{3})(\sqrt{3}x - i)(\sqrt{3}x + i)$

(3) $x^4 + 4$

有理数：$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

実数：$(x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

複素数：$(x+1-i)(x+1+i)(x-1-i)(x-1+i)$