与えられた数列 $0, 2, 6, 14, 30, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

与えられた数列 $0, 2, 6, 14, 30, \dots$ の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を考える。階差数列は $b_n = a_{n+1} - a_n$ で定義される。

与えられた数列の階差数列を計算すると、以下のようになる。

$2-0=2$

$6-2=4$

$14-6=8$

$30-14=16$

したがって、階差数列は $2, 4, 8, 16, \dots$ となる。

この階差数列は初項が $2$、公比が $2$ の等比数列である。したがって、階差数列の一般項は $b_n = 2^n$ となる。

数列 $a_n$ の一般項を求める。$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$a_1 = 0$ であり、$b_k = 2^k$ なので、

$a_n = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式を用いて計算すると、

$a_n = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2(2^{n-1} - 1) = 2^n - 2$

$n=1$ のとき、$a_1 = 2^1 - 2 = 0$ となり、与えられた数列の初項と一致する。したがって、$n \ge 1$ で、$a_n = 2^n - 2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^n - 2$