問題は、以下の2つの数列の和を計算することです。 (3) $\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ (4) $\sum_{k=1}^{n} (k+2)(k-2)$

1. 問題の内容

問題は、以下の2つの数列の和を計算することです。

(3) $\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$

(4) $\sum_{k=1}^{n} (k+2)(k-2)$

2. 解き方の手順

(3)

まず、与えられた式を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k)$

次に、和の性質を使って、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ を代入します。

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 4 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)$

$n(n+1)$ でくくります。

$\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1 - 3) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n-2) = \frac{4}{3}n(n+1)(n-1)$

(4)

まず、与えられた式を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} (k+2)(k-2) = \sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4)$

次に、和の性質を使って、式を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 4) = \sum_{k=1}^{n} k^2 - \sum_{k=1}^{n} 4 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$、$\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ を代入します。

$\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4n = \frac{1}{6}n((n+1)(2n+1) - 24)$

式を整理します。

$\frac{1}{6}n((n+1)(2n+1) - 24) = \frac{1}{6}n(2n^2 + 3n + 1 - 24) = \frac{1}{6}n(2n^2 + 3n - 23)$

3. 最終的な答え

(3) $\frac{4}{3}n(n+1)(n-1)$

(4) $\frac{1}{6}n(2n^2 + 3n - 23)$