与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を求める問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、総和の中身を展開します。

$4k(k-1) = 4k^2 - 4k$

次に、総和を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k) = 4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2$ と $\sum_{k=1}^{n} k$ の公式を利用します。

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

これらの公式を代入すると、

$4\sum_{k=1}^{n} k^2 - 4\sum_{k=1}^{n} k = 4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4\cdot \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1)$

共通因数 $2n(n+1)$ でくくると、

$2n(n+1) \left(\frac{2n+1}{3} - 1\right) = 2n(n+1) \left(\frac{2n+1-3}{3}\right) = 2n(n+1) \left(\frac{2n-2}{3}\right)$

$= \frac{4n(n+1)(n-1)}{3} = \frac{4n(n^2-1)}{3}$

$= \frac{4n^3 - 4n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 - 4n}{3}$