数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題。また、恒等式 $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$ を用いて、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}$ を求める問題。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = 2n^2 + n$ で与えられているとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求める問題。また、恒等式 $\frac{1}{k(k+2)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$ を用いて、和 $S = \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)}$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 一般項 $a_n$ を求める。

$S_n = 2n^2 + n$である。

$a_1 = S_1 = 2(1)^2 + 1 = 3$である。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、

\begin{align*}

a_n &= (2n^2 + n) - [2(n-1)^2 + (n-1)] \\

&= 2n^2 + n - [2(n^2 - 2n + 1) + n - 1] \\

&= 2n^2 + n - (2n^2 - 4n + 2 + n - 1) \\

&= 2n^2 + n - (2n^2 - 3n + 1) \\

&= 4n - 1

\end{align*}

$n = 1$ のとき、$a_1 = 4(1) - 1 = 3$ となり、$a_1 = 3$ に一致する。

したがって、一般項は $a_n = 4n - 1$。

(2) 和 $S$ を求める。

与えられた恒等式を利用する。

\begin{align*}

S &= \frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 4} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{n(n+2)} \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) + \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+2} \right) \right] \\

&= \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{n+2 + n+1}{(n+1)(n+2)} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)} \right) \\

&= \frac{1}{2} \left( \frac{3(n+1)(n+2) - 4(2n+3)}{4(n+1)(n+2)} \right) \\

&= \frac{3n^2 + 9n + 6 - 8n - 12}{4(n^2 + 3n + 2)} \\

&= \frac{3n^2 + n - 6}{4n^2 + 12n + 8}

\end{align*}

上記の計算は誤り。以下正しい計算。

$S = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+2)} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}) = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2})$

$= \frac{1}{2} [(1 - \frac{1}{3}) + (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) + (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + \dots + (\frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1}) + (\frac{1}{n} - \frac{1}{n+2})]$

$= \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2}] = \frac{1}{2} [\frac{3}{2} - \frac{2n+3}{(n+1)(n+2)}] = \frac{1}{2} [\frac{3(n+1)(n+2) - 2(2n+3)}{2(n+1)(n+2)}] = \frac{3n^2+9n+6-4n-6}{4(n+1)(n+2)} = \frac{3n^2+5n}{4(n^2+3n+2)} = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$

3. 最終的な答え

数列 $\{a_n\}$ の一般項は $a_n = 4n - 1$。

$S = \frac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}$