与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。具体的には、$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を展開します。

$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1) = \sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k)$

次に、シグマの性質を利用して、各項を分解します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{1}{2}n(n+1)$ の公式を使用します。

$4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k = 4 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1)$

整理します。

$4 \cdot \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) - 4 \cdot \frac{1}{2}n(n+1) = \frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1)$

$n(n+1)$ でくくります。

$\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1) - 2n(n+1) = \frac{2}{3}n(n+1) [(2n+1) - 3] = \frac{2}{3}n(n+1)(2n-2)$

さらに整理します。

$\frac{2}{3}n(n+1)(2n-2) = \frac{2}{3}n(n+1) \cdot 2(n-1) = \frac{4}{3}n(n+1)(n-1)$

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}n(n+1)(n-1)$