問題は、数列 $3, 5, 7, ..., (2n+1)$ の和を求めることです。

## 問題 (3) の回答

1. 問題の内容

問題は、数列 $3, 5, 7, ..., (2n+1)$ の和を求めることです。

2. 解き方の手順

この数列は初項が $3$、公差が $2$ の等差数列です。項数は $n$ です。

等差数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{n}{2} (a_1 + a_n)$

ここで、$S_n$ は和、$n$ は項数、$a_1$ は初項、$a_n$ は末項です。

この問題では、$a_1 = 3$、$a_n = 2n + 1$ です。

したがって、

$S_n = \frac{n}{2} (3 + (2n + 1))$

$S_n = \frac{n}{2} (2n + 4)$

$S_n = n(n + 2)$

3. 最終的な答え

数列 $3, 5, 7, ..., (2n+1)$ の和は $n(n+2)$ です。

## 問題 (4) の回答

1. 問題の内容

問題は、数列 $1\cdot4 + 2\cdot7 + 3\cdot10 + 4\cdot13 + \cdots + 20\cdot61$ の和を求めることです。

2. 解き方の手順

この数列の一般項 $a_k$ は、$k$ 番目の項が $k(3k+1)$ で表されることがわかります。

したがって、求める和は $\sum_{k=1}^{20} k(3k+1)$ で表されます。

この和を計算します。

$\sum_{k=1}^{20} k(3k+1) = \sum_{k=1}^{20} (3k^2 + k)$

$\sum_{k=1}^{20} (3k^2 + k) = 3 \sum_{k=1}^{20} k^2 + \sum_{k=1}^{20} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を用います。

$\sum_{k=1}^{20} k = \frac{20(20+1)}{2} = \frac{20 \cdot 21}{2} = 210$

$\sum_{k=1}^{20} k^2 = \frac{20(20+1)(2\cdot20+1)}{6} = \frac{20 \cdot 21 \cdot 41}{6} = \frac{17220}{6} = 2870$

したがって、

$3 \sum_{k=1}^{20} k^2 + \sum_{k=1}^{20} k = 3(2870) + 210 = 8610 + 210 = 8820$

3. 最終的な答え

数列 $1\cdot4 + 2\cdot7 + 3\cdot10 + 4\cdot13 + \cdots + 20\cdot61$ の和は $8820$ です。