与えられた2次関数の定義域が制限された範囲における最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 2x - 3, \quad -2 \le x \le 5$ (2) $y = -2x^2 - 4x + 1, \quad -1 \le x \le 1$

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、2次関数の最大・最小の問題(問題6)を解きます。

1. 問題の内容

与えられた2次関数の定義域が制限された範囲における最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 2x - 3, \quad -2 \le x \le 5$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 1, \quad -1 \le x \le 1$

2. 解き方の手順

2次関数の最大・最小を求めるには、まず平方完成を行い、頂点の座標を求めます。

次に、定義域の両端の値と頂点のx座標を比較し、定義域内に頂点が含まれるかどうかを確認します。

定義域内に頂点が含まれる場合、頂点で最小値（または最大値）をとり、定義域の端点のどちらかで最大値（または最小値）をとります。

定義域内に頂点が含まれない場合、定義域の端点のどちらかで最大値または最小値をとります。

(1) $y = x^2 - 2x - 3$

平方完成すると、

$y = (x - 1)^2 - 4$

頂点の座標は $(1, -4)$ であり、$x = 1$ は $-2 \le x \le 5$ の範囲に含まれます。

$x = 1$ のとき、 $y = -4$ (最小値)

定義域の端点での値を計算します。

$x = -2$ のとき、$y = (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$

$x = 5$ のとき、$y = 5^2 - 2(5) - 3 = 25 - 10 - 3 = 12$

したがって、最大値は $12$ ($x = 5$ のとき) です。

(2) $y = -2x^2 - 4x + 1$

平方完成すると、

$y = -2(x^2 + 2x) + 1 = -2(x + 1)^2 + 2 + 1 = -2(x + 1)^2 + 3$

頂点の座標は $(-1, 3)$ であり、$x = -1$ は $-1 \le x \le 1$ の範囲に含まれます。

$x = -1$ のとき、$y = 3$ (最大値)

定義域の端点での値を計算します。

$x = 1$ のとき、$y = -2(1)^2 - 4(1) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$

したがって、最小値は $-5$ ($x = 1$ のとき) です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 12, 最小値: -4

(2) 最大値: 3, 最小値: -5