与えられた数列の和を計算する問題です。 $\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和を計算する問題です。

$\sum_{k=1}^{n} 4k(k-1)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、総和の中の式を展開します。

$4k(k-1) = 4k^2 - 4k$

次に、総和の性質を利用して、総和を分割します。

$\sum_{k=1}^{n} (4k^2 - 4k) = 4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k$

ここで、$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ と $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ を用います。

$4 \sum_{k=1}^{n} k^2 - 4 \sum_{k=1}^{n} k = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \frac{n(n+1)}{2}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1)$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1)}{3}$

$= \frac{2n(n+1)(2n+1-3)}{3}$

$= \frac{2n(n+1)(2n-2)}{3}$

$= \frac{4n(n+1)(n-1)}{3}$

$= \frac{4n(n^2-1)}{3}$

$= \frac{4n^3 - 4n}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4n^3 - 4n}{3}$