ある駅前で、通行人100人を対象にP, Q, Rの3種類のチラシを配ったところ、Pを受け取った人は36人、Qを受け取った人は28人、Rを受け取った人は33人だった。いずれのチラシも受け取らなかった人は20人だった。PとQの両方を受け取った人は8人だったとき、Rのチラシだけを受け取った人の数を求める。

1. 問題の内容

ある駅前で、通行人100人を対象にP, Q, Rの3種類のチラシを配ったところ、Pを受け取った人は36人、Qを受け取った人は28人、Rを受け取った人は33人だった。いずれのチラシも受け取らなかった人は20人だった。PとQの両方を受け取った人は8人だったとき、Rのチラシだけを受け取った人の数を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベン図を使って問題を整理します。

* 全体集合をUとし、Uの要素数をn(U)=100とします。

* Pを受け取った人の集合をP, Qを受け取った人の集合をQ, Rを受け取った人の集合をRとします。

* n(P)=36, n(Q)=28, n(R)=33, いずれも受け取らなかった人の数は20なので、$n(P \cup Q \cup R)^c = 20$ となります。

* PとQの両方を受け取った人の数は8なので、$n(P \cap Q) = 8$ となります。

* $n(P \cup Q \cup R) = n(U) - n(P \cup Q \cup R)^c = 100 - 20 = 80$ となります。

包除原理を用いると、

$n(P \cup Q \cup R) = n(P) + n(Q) + n(R) - n(P \cap Q) - n(Q \cap R) - n(R \cap P) + n(P \cap Q \cap R)$

$80 = 36 + 28 + 33 - 8 - n(Q \cap R) - n(R \cap P) + n(P \cap Q \cap R)$

$80 = 89 - n(Q \cap R) - n(R \cap P) + n(P \cap Q \cap R)$

$n(Q \cap R) + n(R \cap P) - n(P \cap Q \cap R) = 9$

Rだけを受け取った人の数をxとすると、$n(R \cap P^c \cap Q^c) = x$です。

$n(R) = n(R \cap P^c \cap Q^c) + n(R \cap P \cap Q^c) + n(R \cap Q \cap P^c) + n(R \cap P \cap Q)$

$n(R) = x + n(R \cap P) - n(R \cap P \cap Q) + n(R \cap Q) - n(R \cap P \cap Q) + n(R \cap P \cap Q)$

$33 = x + n(R \cap P) + n(R \cap Q) - n(R \cap P \cap Q)$

$33 = x + 9$

$x = 33 - 9 = 24$

3. 最終的な答え

24