全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 40, n(A) = 18, n(B) = 25, n(A \cap B) = 6$ であるとき、次の個数を求めよ。 (ア) $n(A \cup B)$ (イ) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ の部分集合 $A, B$ について、$n(U) = 40, n(A) = 18, n(B) = 25, n(A \cap B) = 6$ であるとき、次の個数を求めよ。

(ア) $n(A \cup B)$

(イ) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(ア) $n(A \cup B)$ を求める。

集合の要素の数の公式より、

$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$

$n(A \cup B) = 18 + 25 - 6 = 43 - 6 = 37$

(イ) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$ を求める。

ド・モルガンの法則より、$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$

よって、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合なので、

$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$

$n(\overline{A \cup B}) = 40 - 37 = 3$

3. 最終的な答え

(ア) $n(A \cup B) = 37$

(イ) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 3$