$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて計算します。部分積分の公式は $\int u dv = uv - \int v du$ です。

$u = \log(1+x)$ と $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{1+x}dx$ と $v = x$ となります。

したがって、

$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx = [x\log(1+x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx$

ここで、$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx$ を計算します。

$\frac{x}{1+x} = \frac{x+1-1}{1+x} = 1 - \frac{1}{1+x}$

したがって、

$\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x} dx = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1+x}) dx = [x - \log(1+x)]_{0}^{1} = (1 - \log(2)) - (0 - \log(1)) = 1 - \log(2)$

よって、

$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx = [x\log(1+x)]_{0}^{1} - (1 - \log(2)) = (1 \cdot \log(2) - 0 \cdot \log(1)) - (1 - \log(2)) = \log(2) - 1 + \log(2) = 2\log(2) - 1$

3. 最終的な答え

$2\log(2) - 1$