数列 $\{a_n\}$ の階差数列の一般項が $4^n$ であるとき、$a_n$ の一般項を求める問題です。ただし、$n \geq 2$ の場合を考えます。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の階差数列の一般項が $4^n$ であるとき、$a_n$ の一般項を求める問題です。ただし、$n \geq 2$ の場合を考えます。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の階差数列が $4^n$ であるとき、$n \geq 2$ において、$a_n$ は以下の式で表されます。

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k$

$a_1 = 1$ であることが与えられています。

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k$ は初項が 4、公比が 4、項数が $n-1$ の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 4^k = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4-1} = \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3}$

したがって、

$a_n = 1 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = 1 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{3 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n - 1}{3}$

$n = 1$ のとき、 $a_1 = \frac{4^1 - 1}{3} = \frac{3}{3} = 1$ となり、$a_1 = 1$ を満たします。

よって、$n \geq 1$ において、$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{4^n - 1}{3}$