与えられた問題は、平方根、大小比較、有理数・無理数の判別、小数に関する問題です。具体的には、次の4つの大問から構成されています。 (1) 平方根を含む数の大小を不等号を用いて表す。 (2) 不等式を満たす整数の値を求める。 (3) 平方根の大小関係を満たす整数を全て求める。 (4) 与えられた数を小さい順に並べる。 (5) 有理数・無理数の定義に関する穴埋め問題。 (6) 与えられた数の中から有理数を全て選ぶ。 (7) 小数の種類に関する問題。

1. 問題の内容

与えられた問題は、平方根、大小比較、有理数・無理数の判別、小数に関する問題です。具体的には、次の4つの大問から構成されています。

(1) 平方根を含む数の大小を不等号を用いて表す。

(2) 不等式を満たす整数の値を求める。

(3) 平方根の大小関係を満たす整数を全て求める。

(4) 与えられた数を小さい順に並べる。

(5) 有理数・無理数の定義に関する穴埋め問題。

(6) 与えられた数の中から有理数を全て選ぶ。

(7) 小数の種類に関する問題。

2. 解き方の手順

(1) **① √13と√15**:

平方根の中身を比較する。$13 < 15$ なので、$\sqrt{13} < \sqrt{15}$。

**② -3と√8**:

$-3$は負の数、$\sqrt{8}$は正の数なので、$-3 < \sqrt{8}$。

**③ -√23と-√33**:

負の数なので、絶対値が大きいほど小さい。$23 < 33$なので、$\sqrt{23} < \sqrt{33}$。したがって、$-\sqrt{23} > -\sqrt{33}$。

**④ 8と√56**:

8を平方根の形で表すと、$\sqrt{64}$。$64 > 56$なので、$\sqrt{64} > \sqrt{56}$。したがって、$8 > \sqrt{56}$。

(2) $9 < \sqrt{a} < 10$ を満たす最大の整数 $a$ を求める。

$9 < \sqrt{a} < 10$ の各辺を2乗すると、$81 < a < 100$。

したがって、$a$ は 82 から 99 までの整数である。最大の整数は $a = 99$。

(3) $\sqrt{25} < a < \sqrt{70}$ を満たす正の整数 $a$ を求める。

$\sqrt{25} = 5$ なので、$5 < a < \sqrt{70}$。

$\sqrt{64} = 8$、$\sqrt{81} = 9$ なので、$8 < \sqrt{70} < 9$。

したがって、$5 < a < \sqrt{70} < 9$ を満たす整数 $a$ は、6, 7, 8。

(4) $-√12, √13, -4, -√14, -√3$ を小さい順に並べる。

まず、負の数と正の数に分ける。正の数は$√13$のみ。

負の数は$-√12, -4, -√14, -√3$。

$-4 = -√16$ なので、$-√16 < -√14 < -√12 < -√3$。

小さい順に並べると、$-√16, -√14, -√12, -√3, √13$。

元の形で表すと、$-4, -√14, -√12, -√3, √13$。

(5) 有理数は、aを(整数)、bを0でない(整数)としたとき、$\frac{a}{b}$と(分数)の形で表すことができる数であるのに対して、無理数は(分数)で表すことができない数である。

(6) 与えられた数の中から有理数を全て選ぶ。

ア. $5.1 = \frac{51}{10}$ (有理数)

イ. $-√121 = -11$ (有理数)

ウ. $π$ (無理数)

エ. $-0.63 = -\frac{63}{100}$ (有理数)

オ. $√20$ (無理数)

カ. $-√49 = -7$ (有理数)

したがって、ア、イ、エ、カ。

(7) (1) 0.67のように、終わりのある小数を何というか。

有限小数。

(2) √2 = 1.41421356…や2/3 = 0.6666…のように、終わりのない小数を何というか。

無限小数。

(3) (2)のうち、0.6363…のように、ある位から先は同じ数字の並びがくり返される小数を何というか。

循環小数。

3. 最終的な答え

(1) ① $\sqrt{13} < \sqrt{15}$ ② $-3 < \sqrt{8}$ ③ $-\sqrt{23} > -\sqrt{33}$ ④ $8 > \sqrt{56}$

(2) 99

(3) 6, 7, 8

(4) $-4, -\sqrt{14}, -\sqrt{12}, -\sqrt{3}, \sqrt{13}$

(5) ① 整数, ② 分数

(6) ア、イ、エ、カ

(7) (1) 有限小数 (2) 無限小数 (3) 循環小数