関数 $y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$ について、$x$ の変域が $-6 \le x < 1$ のときの $y$ の値域を求めます。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9}$ について、$x$ の変域が $-6 \le x < 1$ のときの $y$ の値域を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{4}{9} = \left(x - \frac{2}{3}\right)^2$

これは頂点が $(\frac{2}{3}, 0)$ の放物線です。軸は $x = \frac{2}{3}$ です。

次に、定義域の端点での $y$ の値を計算します。

$x = -6$ のとき、$y = (-6 - \frac{2}{3})^2 = (-\frac{20}{3})^2 = \frac{400}{9}$

$x = 1$ のとき、$y = (1 - \frac{2}{3})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$

$x$ の変域 $-6 \le x < 1$ の間に頂点の $x$ 座標 $x = \frac{2}{3}$ が含まれるので、$y$ の最小値は $0$ です。

$x = -6$ のとき $y = \frac{400}{9}$、$x = 1$ のとき $y = \frac{1}{9}$ であり、$x = \frac{2}{3}$ のとき $y = 0$ です。

定義域 $-6 \le x < 1$ より、 $y$ の最大値は $x=-6$ のときである $\frac{400}{9}$ を含み、$x=1$ のときの値 $\frac{1}{9}$ は含みません。

したがって、$y$ の値域は $0 \le y \le \frac{400}{9}$ となります。

3. 最終的な答え

$0 \le y \le \frac{400}{9}$