ハレー彗星の太陽からの平均距離は地球の18倍であるとき、ハレー彗星の公転周期を求める問題。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とし、有効数字2桁で答える。

1. 問題の内容

ハレー彗星の太陽からの平均距離は地球の18倍であるとき、ハレー彗星の公転周期を求める問題。ただし、$\sqrt{2} = 1.41$とし、有効数字2桁で答える。

2. 解き方の手順

ケプラーの第3法則を用いる。ケプラーの第3法則は、惑星の公転周期の2乗が、軌道長半径の3乗に比例するという法則である。

地球の公転周期を$T_E$、ハレー彗星の公転周期を$T_H$、地球の軌道長半径を$a_E$、ハレー彗星の軌道長半径を$a_H$とすると、

$\frac{T_H^2}{T_E^2} = \frac{a_H^3}{a_E^3}$

問題より、$a_H = 18a_E$なので、

$\frac{T_H^2}{T_E^2} = \frac{(18a_E)^3}{a_E^3} = 18^3$

したがって、$T_H = T_E \cdot \sqrt{18^3} = T_E \cdot 18 \sqrt{18} = T_E \cdot 18 \sqrt{9 \cdot 2} = T_E \cdot 18 \cdot 3 \sqrt{2} = T_E \cdot 54\sqrt{2}$

地球の公転周期$T_E = 1$年、$\sqrt{2} = 1.41$を代入すると、

$T_H = 54 \times 1.41 = 76.14$

有効数字2桁で答えるので、$T_H = 76$年。

3. 最終的な答え

76 年