両端が固定された長さ $L$ の弦に定在波が発生している。時刻 $0, t_0, 2t_0, 3t_0$ における波形が与えられており、時刻 $4t_0$ に最初の波形に戻る。以下の問いに答える。 (1) 定在波の腹の部分での媒質の振動数 $f$ はいくらか。 (2) この定在波を、右と左に進む2つの正弦波の重ね合わせと考えるとき、波の速さはいくらか。 (3) 時刻 $5t_0$ における、右に進む波と左に進む波の波形はそれぞれどれか。下の図①〜④から選ぶ。

1. 問題の内容

両端が固定された長さ $L$ の弦に定在波が発生している。時刻 $0, t_0, 2t_0, 3t_0$ における波形が与えられており、時刻 $4t_0$ に最初の波形に戻る。以下の問いに答える。

(1) 定在波の腹の部分での媒質の振動数 $f$ はいくらか。

(2) この定在波を、右と左に進む2つの正弦波の重ね合わせと考えるとき、波の速さはいくらか。

(3) 時刻 $5t_0$ における、右に進む波と左に進む波の波形はそれぞれどれか。下の図①〜④から選ぶ。

2. 解き方の手順

(1)

時刻 $4t_0$ で元の波形に戻るので、周期は $4t_0$ である。したがって、振動数 $f$ は、

$f = \frac{1}{4t_0}$

(2)

与えられた波形から、弦の長さ $L$ は定在波の半波長の2倍に相当する。つまり、波長 $\lambda$ は、

$L = 2 \times \frac{\lambda}{2}$

$\lambda = L$

波の速さ $v$ は、

$v = f\lambda = \frac{1}{4t_0}L = \frac{L}{4t_0}$

(3)

時刻 $5t_0$ は $t_0$ 経過しているので、波形2のようになる。

ここで、時刻 $5t_0$ における合成波形は、時刻 $t_0$ の波形2と同じである。

右に進む波と左に進む波に分解するには、定在波は左右対称な2つの進行波の重ね合わせであるので、中央で分割すれば良い。

時刻 $t_0$ の波形から、右に進む波は①、左に進む波は④である。

3. 最終的な答え

(1) $f = \frac{1}{4t_0}$

(2) $v = \frac{L}{4t_0}$

(3) 右に進む波: ①、左に進む波: ④