長さ $l$ の糸の一端を固定し、他端に質量 $m$ のおもりをつけて、水平面内で等速円運動をさせる。糸と鉛直方向のなす角を $\theta$、重力加速度の大きさを $g$ とする。 (1) おもりが受ける糸の張力 $S$ を求めよ。 (2) 円運動の半径を求めよ。 (3) 円運動の運動方程式を立てよ。 (4) おもりの速さ $v$ を求めよ。 (5) おもりの角速度 $\omega$ と周期 $T$ を求めよ。

1. 問題の内容

長さ $l$ の糸の一端を固定し、他端に質量 $m$ のおもりをつけて、水平面内で等速円運動をさせる。糸と鉛直方向のなす角を $\theta$、重力加速度の大きさを $g$ とする。

(1) おもりが受ける糸の張力 $S$ を求めよ。

(2) 円運動の半径を求めよ。

(3) 円運動の運動方程式を立てよ。

(4) おもりの速さ $v$ を求めよ。

(5) おもりの角速度 $\omega$ と周期 $T$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 鉛直方向のつり合いを考える。糸の張力 $S$ の鉛直成分は $S \cos{\theta}$ であり、重力 $mg$ と釣り合う。したがって、

$S \cos{\theta} = mg$

$S = \frac{mg}{\cos{\theta}}$

(2) 円運動の半径 $r$ は、糸の長さ $l$ と角度 $\theta$ を用いて表せる。

$r = l \sin{\theta}$

(3) 糸の張力 $S$ の水平成分 $S \sin{\theta}$ が向心力となる。

$S \sin{\theta} = m \frac{v^2}{r}$

ここで、$S = \frac{mg}{\cos{\theta}}$、$r = l \sin{\theta}$ を代入すると、

$\frac{mg}{\cos{\theta}} \sin{\theta} = m \frac{v^2}{l \sin{\theta}}$

$mg \tan{\theta} = m \frac{v^2}{l \sin{\theta}}$

(4) (3)で求めた式を変形して、速さ $v$ を求める。

$v^2 = g l \sin{\theta} \tan{\theta} = gl \frac{\sin^2{\theta}}{\cos{\theta}}$

$v = \sqrt{gl \frac{\sin^2{\theta}}{\cos{\theta}}} = \sin{\theta} \sqrt{\frac{gl}{\cos{\theta}}}$

(5) 角速度 $\omega$ と周期 $T$ を求める。

$v = r \omega$ より、$\omega = \frac{v}{r}$

$\omega = \frac{\sin{\theta} \sqrt{\frac{gl}{\cos{\theta}}}}{l \sin{\theta}} = \sqrt{\frac{g}{l \cos{\theta}}}$

周期 $T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\frac{l \cos{\theta}}{g}}$

3. 最終的な答え

(1) $S = \frac{mg}{\cos{\theta}}$

(2) $r = l \sin{\theta}$

(3) $m \frac{v^2}{l \sin{\theta}} = mg \tan{\theta}$

(4) $v = \sin{\theta} \sqrt{\frac{gl}{\cos{\theta}}}$

(5) $\omega = \sqrt{\frac{g}{l \cos{\theta}}}$、 $T = 2 \pi \sqrt{\frac{l \cos{\theta}}{g}}$