(1) $\vec{A}$を$\vec{B}$方向とそれに垂直な方向に分解したときの$\vec{B}$方向のベクトルを求める。 (2) $\vec{A}$を$\vec{B}$方向とそれに垂直な方向に分解したときの$\vec{B}$に垂直な方向のベクトルを求める。 (3) $\vec{A}$と$\vec{B}$に垂直な単位ベクトルを求める。

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1. 問題の内容

与えられた画像には4つの問題があります。それぞれ以下の通りです。

1. ベクトル$\vec{A} = (10, 5, 2)$、$\vec{B} = (3, 4, 0)$に対して、

(1) $\vec{A}$を$\vec{B}$方向とそれに垂直な方向に分解したときの$\vec{B}$方向のベクトルを求める。

(2) $\vec{A}$を$\vec{B}$方向とそれに垂直な方向に分解したときの$\vec{B}$に垂直な方向のベクトルを求める。

(3) $\vec{A}$と$\vec{B}$に垂直な単位ベクトルを求める。

2. 4点P(-1, 1, 3), A(2, 6, 1), B(3, 0, -1), C(1, 2, 7)を頂点とする四面体(三角錐)の体積を求める。

3. 質量$m$の物体の位置ベクトル$\vec{r}$が$\vec{r} = (r_0 \cos(\omega t), r_0 \sin(\omega t), v_0 t)$で与えられるとき、

(1) 物体の速度$\vec{v}$および加速度$\vec{a}$を求める。

(2) $\vec{r}$と$\vec{v}$がなす角$\theta$を求める。

(3) 物体の運動エネルギーを求める。

(4) 運動の様子を図示する。

4. 電場$\vec{E}$および磁束密度$\vec{B}$の空間中を速度$\vec{v}$で移動する荷電粒子（質量$m$、電荷$q$）の運動方程式が$m \frac{d\vec{v}}{dt} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$で与えられる。$\vec{E}$と$\vec{B}$が直交し、$\vec{v} = \vec{w} + \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$で表されるとき、$\vec{w}$についての運動方程式を求める。

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2. 解き方の手順

**問題1**

(1) $\vec{A}$の$\vec{B}$方向への正射影ベクトルを$\vec{A}_{\parallel}$とすると、

$\vec{A}_{\parallel} = \frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{B}|^2} \vec{B}$

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (10)(3) + (5)(4) + (2)(0) = 30 + 20 + 0 = 50$

$|\vec{B}|^2 = 3^2 + 4^2 + 0^2 = 9 + 16 = 25$

よって、

$\vec{A}_{\parallel} = \frac{50}{25} \vec{B} = 2 \vec{B} = 2(3, 4, 0) = (6, 8, 0)$

(2) $\vec{A}$の$\vec{B}$に垂直な方向へのベクトルを$\vec{A}_{\perp}$とすると、

$\vec{A}_{\perp} = \vec{A} - \vec{A}_{\parallel}$

$\vec{A}_{\perp} = (10, 5, 2) - (6, 8, 0) = (4, -3, 2)$

(3) $\vec{A}$と$\vec{B}$に垂直なベクトルは、$\vec{A} \times \vec{B}$で与えられる。

$\vec{A} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 10 & 5 & 2 \\ 3 & 4 & 0 \end{vmatrix} = (5(0) - 2(4))\vec{i} - (10(0) - 2(3))\vec{j} + (10(4) - 5(3))\vec{k} = -8\vec{i} + 6\vec{j} + 25\vec{k} = (-8, 6, 25)$

このベクトルの大きさを求めると、

$|\vec{A} \times \vec{B}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2 + 25^2} = \sqrt{64 + 36 + 625} = \sqrt{725} = 5\sqrt{29}$

よって、$\vec{A}$と$\vec{B}$に垂直な単位ベクトルは、

$\pm \frac{\vec{A} \times \vec{B}}{|\vec{A} \times \vec{B}|} = \pm \frac{(-8, 6, 25)}{5\sqrt{29}} = \pm \left( -\frac{8}{5\sqrt{29}}, \frac{6}{5\sqrt{29}}, \frac{25}{5\sqrt{29}} \right) = \pm \left( -\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$

**問題2**

四面体の体積は、$\frac{1}{6} | (\vec{PA} \times \vec{PB}) \cdot \vec{PC} |$で与えられる。

$\vec{PA} = (2 - (-1), 6 - 1, 1 - 3) = (3, 5, -2)$

$\vec{PB} = (3 - (-1), 0 - 1, -1 - 3) = (4, -1, -4)$

$\vec{PC} = (1 - (-1), 2 - 1, 7 - 3) = (2, 1, 4)$

$\vec{PA} \times \vec{PB} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 5 & -2 \\ 4 & -1 & -4 \end{vmatrix} = (5(-4) - (-2)(-1))\vec{i} - (3(-4) - (-2)(4))\vec{j} + (3(-1) - 5(4))\vec{k} = (-20 - 2)\vec{i} - (-12 + 8)\vec{j} + (-3 - 20)\vec{k} = -22\vec{i} + 4\vec{j} - 23\vec{k} = (-22, 4, -23)$

$(\vec{PA} \times \vec{PB}) \cdot \vec{PC} = (-22)(2) + (4)(1) + (-23)(4) = -44 + 4 - 92 = -132$

四面体の体積 $V = \frac{1}{6} |-132| = \frac{132}{6} = 22$

**問題3**

(1) $\vec{r} = (r_0 \cos(\omega t), r_0 \sin(\omega t), v_0 t)$

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = (-r_0 \omega \sin(\omega t), r_0 \omega \cos(\omega t), v_0)$

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (-r_0 \omega^2 \cos(\omega t), -r_0 \omega^2 \sin(\omega t), 0)$

(2) $\vec{r} \cdot \vec{v} = (r_0 \cos(\omega t))(-r_0 \omega \sin(\omega t)) + (r_0 \sin(\omega t))(r_0 \omega \cos(\omega t)) + (v_0 t)(v_0) = -r_0^2 \omega \cos(\omega t) \sin(\omega t) + r_0^2 \omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) + v_0^2 t = v_0^2 t$

$|\vec{r}| = \sqrt{(r_0 \cos(\omega t))^2 + (r_0 \sin(\omega t))^2 + (v_0 t)^2} = \sqrt{r_0^2 (\cos^2(\omega t) + \sin^2(\omega t)) + v_0^2 t^2} = \sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2}$

$|\vec{v}| = \sqrt{(-r_0 \omega \sin(\omega t))^2 + (r_0 \omega \cos(\omega t))^2 + v_0^2} = \sqrt{r_0^2 \omega^2 (\sin^2(\omega t) + \cos^2(\omega t)) + v_0^2} = \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}$

$\cos \theta = \frac{\vec{r} \cdot \vec{v}}{|\vec{r}| |\vec{v}|} = \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}}$

$\theta = \arccos \left( \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}} \right)$

(3) 運動エネルギー $K = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2 = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 運動の様子：xy平面内で半径$r_0$の円運動を行いながら、z軸方向に速度$v_0$で等速直線運動を行う。つまり、螺旋運動。

**問題4**

$m \frac{d\vec{v}}{dt} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$

$\vec{v} = \vec{w} + \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2}$

$\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d\vec{w}}{dt}$

$\vec{v} \times \vec{B} = \left( \vec{w} + \frac{\vec{E} \times \vec{B}}{B^2} \right) \times \vec{B} = \vec{w} \times \vec{B} + \frac{(\vec{E} \times \vec{B}) \times \vec{B}}{B^2}$

$(\vec{E} \times \vec{B}) \times \vec{B} = (\vec{E} \cdot \vec{B}) \vec{B} - (\vec{B} \cdot \vec{B}) \vec{E} = 0 - B^2 \vec{E} = -B^2 \vec{E}$

(∵ $\vec{E}$と$\vec{B}$は直交する。)

$\frac{(\vec{E} \times \vec{B}) \times \vec{B}}{B^2} = \frac{-B^2 \vec{E}}{B^2} = - \vec{E}$

$\vec{v} \times \vec{B} = \vec{w} \times \vec{B} - \vec{E}$

$m \frac{d\vec{w}}{dt} = q(\vec{E} + \vec{w} \times \vec{B} - \vec{E}) = q(\vec{w} \times \vec{B})$

よって、$\vec{w}$についての運動方程式は

$m \frac{d\vec{w}}{dt} = q(\vec{w} \times \vec{B})$

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3. 最終的な答え

**問題1**

(1) $\vec{A}$の$\vec{B}$方向のベクトル: $(6, 8, 0)$

(2) $\vec{A}$の$\vec{B}$に垂直な方向のベクトル: $(4, -3, 2)$

(3) $\vec{A}$と$\vec{B}$に垂直な単位ベクトル: $\pm \left( -\frac{8\sqrt{29}}{145}, \frac{6\sqrt{29}}{145}, \frac{5\sqrt{29}}{29} \right)$

**問題2**

四面体の体積: 22

**問題3**

(1) 速度: $\vec{v} = (-r_0 \omega \sin(\omega t), r_0 \omega \cos(\omega t), v_0)$、加速度: $\vec{a} = (-r_0 \omega^2 \cos(\omega t), -r_0 \omega^2 \sin(\omega t), 0)$

(2) $\vec{r}$と$\vec{v}$のなす角: $\theta = \arccos \left( \frac{v_0^2 t}{\sqrt{r_0^2 + v_0^2 t^2} \sqrt{r_0^2 \omega^2 + v_0^2}} \right)$

(3) 運動エネルギー: $K = \frac{1}{2} m (r_0^2 \omega^2 + v_0^2)$

(4) 運動の様子：xy平面内で半径$r_0$の円運動を行いながら、z軸方向に速度$v_0$で等速直線運動を行う。（螺旋運動）

**問題4**

$\vec{w}$についての運動方程式: $m \frac{d\vec{w}}{dt} = q(\vec{w} \times \vec{B})$