水平面より30°傾いているなめらかな斜面上に質量$m$ [kg]の物体を置き、一つの力を加えて物体が滑り出さないようにする。以下の2つの場合について、物体に働く力のベクトルを図に記入し、各力の大きさを求める。重力加速度の大きさを$g$ [m/s$^2$]とする。 (1) 斜面に平行な方向に力を加えたとき (2) 水平方向に力を加えたとき

1. 問題の内容

水平面より30°傾いているなめらかな斜面上に質量$m$ [kg]の物体を置き、一つの力を加えて物体が滑り出さないようにする。以下の2つの場合について、物体に働く力のベクトルを図に記入し、各力の大きさを求める。重力加速度の大きさを$g$ [m/s$^2$]とする。

(1) 斜面に平行な方向に力を加えたとき

(2) 水平方向に力を加えたとき

2. 解き方の手順

(1) 斜面に平行な方向に力を加えたとき

物体に働く力は、重力、垂直抗力、そして加えられた力である。

重力は鉛直下向きに$mg$、垂直抗力は斜面に垂直上向き、加えられた力は斜面に平行上向きである。

斜面に平行な方向の力のつり合いを考えると、

$F - mg \sin{30^\circ} = 0$

したがって、$F = mg \sin{30^\circ} = \frac{1}{2} mg$

斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えると、

$N - mg \cos{30^\circ} = 0$

したがって、$N = mg \cos{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$

(2) 水平方向に力を加えたとき

物体に働く力は、重力、垂直抗力、そして加えられた力である。

重力は鉛直下向きに$mg$、垂直抗力は斜面に垂直上向き、加えられた力は水平方向である。

斜面に平行な方向の力のつり合いを考えると、

$F \cos{30^\circ} - mg \sin{30^\circ} = 0$

したがって、$F = \frac{mg \sin{30^\circ}}{\cos{30^\circ}} = \frac{mg}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3} mg$

斜面に垂直な方向の力のつり合いを考えると、

$N - mg \cos{30^\circ} - F \sin{30^\circ} = 0$

したがって、$N = mg \cos{30^\circ} + F \sin{30^\circ} = mg \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} mg \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} mg + \frac{\sqrt{3}}{6} mg = \frac{4\sqrt{3}}{6} mg = \frac{2\sqrt{3}}{3} mg$

3. 最終的な答え

(1) 斜面に平行な方向に力を加えたとき

加えられた力の大きさ: $F = \frac{1}{2} mg$

垂直抗力の大きさ: $N = \frac{\sqrt{3}}{2} mg$

(2) 水平方向に力を加えたとき

加えられた力の大きさ: $F = \frac{\sqrt{3}}{3} mg$

垂直抗力の大きさ: $N = \frac{2\sqrt{3}}{3} mg$