1. ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ に対して、原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ 上での面積分 $\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める。

1. 問題の内容

1. ベクトル場 $\mathbf{A} = (x^2, 2, z)$ に対して、原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ 上での面積分 $\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S}$ を求める。

2. 原点を中心とする半径 $a$ の球面 $S$ と、その球で囲まれた領域 $V$ について、等式 $\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ が成り立つとき、与えられた選択肢 (1)～(5) から、この等式を満たすベクトル場 $\mathbf{A}$ を選ぶ。

3. 解き方の手順

1. 面積分の計算

球面座標系を用いる。

$x = a\sin\theta\cos\phi$, $y = a\sin\theta\sin\phi$, $z = a\cos\theta$

$d\mathbf{S} = (x, y, z)da^2\sin\theta d\theta d\phi = a^2(\sin\theta\cos\phi, \sin\theta\sin\phi, \cos\theta)\sin\theta d\theta d\phi$

$\mathbf{A} = (x^2, 2, z) = (a^2\sin^2\theta\cos^2\phi, 2, a\cos\theta)$

$\mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = a^2(a^2\sin^3\theta\cos^3\phi + 2\sin\theta\sin\phi + a\cos^2\theta)\sin\theta d\theta d\phi$

$\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} a^2(a^2\sin^3\theta\cos^3\phi + 2\sin\theta\sin\phi + a\cos^2\theta)\sin\theta d\theta d\phi$

$\int_0^{2\pi}\cos^3\phi d\phi = 0$, $\int_0^{2\pi}\sin\phi d\phi = 0$ より、

$\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = a^3 \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi} \cos^2\theta\sin\theta d\theta d\phi$

$= a^3 \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^{\pi} \cos^2\theta\sin\theta d\theta$

$= a^3 (2\pi) \left[-\frac{1}{3}\cos^3\theta\right]_0^{\pi} = 2\pi a^3 \left(-\frac{1}{3}(-1) + \frac{1}{3}(1)\right) = \frac{4\pi a^3}{3}$

2. 等式を満たすベクトル場の選択

与えられた等式は、 $\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ である。

ここで、$\mathbf{A} = f(r)\mathbf{r}$ の形のベクトル場を考える。

$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S r^2 f(r)\mathbf{r} \cdot d\mathbf{S}$

球面上では $r = a$ であり、$d\mathbf{S} = \mathbf{n}dS = \frac{\mathbf{r}}{r}dS$ であるから、

$\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \oint_S a^2 f(a)\mathbf{r} \cdot \frac{\mathbf{r}}{a}dS = a f(a) \oint_S r^2 dS = a f(a) \cdot a^2 \cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^5 f(a)$

一方、$\int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV = \int_V f(r) \mathbf{r} \cdot \mathbf{r} dV = \int_V f(r) r^2 dV$

球座標で表すと、$\int_V f(r) r^2 dV = \int_0^a \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} f(r) r^2 \cdot r^2 \sin\theta dr d\theta d\phi = 4\pi \int_0^a f(r) r^4 dr$

等式 $\oint_S r^2 \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = 2 \int_V \mathbf{A} \cdot \mathbf{r} dV$ より、

$4\pi a^5 f(a) = 8\pi \int_0^a f(r) r^4 dr$

両辺を $a$ で微分すると、

$5 a^4 f(a) + a^5 f'(a) = 8 a^4 f(a)$

$a^5 f'(a) = 3 a^4 f(a)$

$f'(a) = \frac{3}{a} f(a)$

$\frac{f'(a)}{f(a)} = \frac{3}{a}$

$\int \frac{f'(a)}{f(a)} da = \int \frac{3}{a} da$

$\ln |f(a)| = 3 \ln |a| + C$

$f(a) = e^C a^3 = k a^3$

$\mathbf{A} = k r^3 \frac{\mathbf{r}}{r} = k r^2 \mathbf{r}$

選択肢の中で、$\mathbf{A} = c\mathbf{r}$ （$c$は定数）の形をしているものは、(3)の $\mathbf{A} = \mathbf{r}$ である。このとき、$f(r)=1$なので、上記の積分を行うと、$4\pi a^5 = 8\pi \int_0^a r^4 dr = 8\pi [r^5/5]_0^a = (8/5)\pi a^5$となるので成り立たない。

選択肢(4)は$\mathbf{A} = \mathbf{r}/r^2 = \mathbf{r}/(x^2+y^2+z^2)$である。これは計算が非常に複雑になる。

選択肢(5)は$\mathbf{A} = \mathbf{r}/r^3$である。このとき、$\nabla \cdot A = 0$なので、発散定理から左辺の積分は0。右辺の積分も0となり、等式が成立する。

4. 最終的な答え

1. $\oint_S \mathbf{A} \cdot d\mathbf{S} = \frac{4\pi a^3}{3}$

2. (5)