空気抵抗がある場合の鉛直投げ上げ運動において、空気抵抗が速度 $v(t)$ に比例するときの、質点の速度 $v(t)$ に関する運動方程式： $\frac{dv(t)}{dt} = -g - kv(t)$ の解を求める。 (1) $v(t) = V(t) - \frac{g}{k}$ という変数変換を用いて、上記の微分方程式を新しい変数 $V(t)$ で書き直す。 (2) $V(t) = e^{\lambda t}$ と仮定して、$V(t)$ の解を求め、それを用いて $v(t)$ の解を求める。初期条件は $v(0) = v_0$ とする。

1. 問題の内容

空気抵抗がある場合の鉛直投げ上げ運動において、空気抵抗が速度 $v(t)$ に比例するときの、質点の速度 $v(t)$ に関する運動方程式：

$\frac{dv(t)}{dt} = -g - kv(t)$

の解を求める。

(1) $v(t) = V(t) - \frac{g}{k}$ という変数変換を用いて、上記の微分方程式を新しい変数 $V(t)$ で書き直す。

(2) $V(t) = e^{\lambda t}$ と仮定して、$V(t)$ の解を求め、それを用いて $v(t)$ の解を求める。初期条件は $v(0) = v_0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 変数変換

$v(t) = V(t) - \frac{g}{k}$ より、$\frac{dv(t)}{dt} = \frac{dV(t)}{dt}$ である。

したがって、元の微分方程式は

$\frac{dV(t)}{dt} = -g - k(V(t) - \frac{g}{k}) = -g - kV(t) + g$

$\frac{dV(t)}{dt} = -kV(t)$

(2) $V(t)$ の解

$V(t) = e^{\lambda t}$ と仮定すると、$\frac{dV(t)}{dt} = \lambda e^{\lambda t} = \lambda V(t)$

これを上記の微分方程式に代入すると、

$\lambda V(t) = -kV(t)$

$\lambda = -k$

したがって、$V(t) = A e^{-kt}$ ($A$ は積分定数)

(3) $v(t)$ の解

$v(t) = V(t) - \frac{g}{k} = A e^{-kt} - \frac{g}{k}$

初期条件 $v(0) = v_0$ を用いると、

$v_0 = A e^{-k \cdot 0} - \frac{g}{k} = A - \frac{g}{k}$

$A = v_0 + \frac{g}{k}$

したがって、

$v(t) = (v_0 + \frac{g}{k}) e^{-kt} - \frac{g}{k}$

3. 最終的な答え

$v(t) = (v_0 + \frac{g}{k}) e^{-kt} - \frac{g}{k}$