ある旅行会社のバスツアーに関する問題です。参加者の人数を $x$ 名（10以上50以下の整数）、1名あたりの参加料を $a$ 円（12000以上の整数）とし、バスツアーの利益について考えます。利益は参加料の合計から、規模に応じた一律費用と1名ごとの費用の合計を引いた金額です。 (1) $x=14$ のとき、利益が76000円となるような $a$ の値を求めます。 (2) $x=20$ のときの利益を $A$ 円、$x=30$ のときの利益を $B$ 円とします。$A, B$ をそれぞれ $a$ を用いて表し、$|A-B| \le 30000$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。 (3) (2) の $|A-B| \le 30000$ を満たす $a$ の最大値を $M$ とします。1名あたりの参加料が $M$ 円のとき、利益が参加料の合計の30%以上40%以下となるような $x$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

ある旅行会社のバスツアーに関する問題です。参加者の人数を $x$ 名（10以上50以下の整数）、1名あたりの参加料を $a$ 円（12000以上の整数）とし、バスツアーの利益について考えます。利益は参加料の合計から、規模に応じた一律費用と1名ごとの費用の合計を引いた金額です。

(1) $x=14$ のとき、利益が76000円となるような $a$ の値を求めます。

(2) $x=20$ のときの利益を $A$ 円、$x=30$ のときの利益を $B$ 円とします。$A, B$ をそれぞれ $a$ を用いて表し、$|A-B| \le 30000$ となるような $a$ の値の範囲を求めます。

(3) (2) の $|A-B| \le 30000$ を満たす $a$ の最大値を $M$ とします。1名あたりの参加料が $M$ 円のとき、利益が参加料の合計の30%以上40%以下となるような $x$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$x=14$ のとき、参加料の合計は $14a$ 円です。

規模に応じた一律費用は120000円、1名ごとの費用は6000円なので、合計費用は $120000 + 14 \times 6000 = 120000 + 84000 = 204000$ 円です。

利益は $14a - 204000$ 円で、これが76000円となるので、

$14a - 204000 = 76000$

$14a = 280000$

$a = 20000$

(2)

$x=20$ のとき、参加料の合計は $20a$ 円です。

規模に応じた一律費用は120000円、1名ごとの費用は5000円なので、合計費用は $120000 + 20 \times 5000 = 120000 + 100000 = 220000$ 円です。

利益 $A$ は $20a - 220000$ 円です。

$A = 20a - 220000$

$x=30$ のとき、参加料の合計は $30a$ 円です。

規模に応じた一律費用は210000円、1名ごとの費用は5000円なので、合計費用は $210000 + 30 \times 5000 = 210000 + 150000 = 360000$ 円です。

利益 $B$ は $30a - 360000$ 円です。

$B = 30a - 360000$

$|A-B| \le 30000$ より、

$|(20a - 220000) - (30a - 360000)| \le 30000$

$|-10a + 140000| \le 30000$

$-30000 \le -10a + 140000 \le 30000$

$-170000 \le -10a \le -110000$

$11000 \le a \le 17000$

$a \ge 12000$ なので、$12000 \le a \le 17000$

(3)

$|A-B| \le 30000$ を満たす $a$ の最大値は $M = 17000$ です。

1名あたりの参加料が $M=17000$ 円のとき、参加料の合計は $17000x$ 円です。

利益は、規模に応じて

(i) $10 \le x \le 25$ のとき、$17000x - (120000 + 6000x) = 11000x - 120000$

(ii) $26 \le x \le 50$ のとき、$17000x - (210000 + 5000x) = 12000x - 210000$

利益が参加料の合計の30%以上40%以下なので、

$0.3 \times 17000x \le \text{利益} \le 0.4 \times 17000x$

$5100x \le \text{利益} \le 6800x$

(i) $10 \le x \le 25$ のとき、

$5100x \le 11000x - 120000 \le 6800x$

$5100x \le 11000x - 120000$ より $120000 \le 5900x$ なので $x \ge \frac{120000}{5900} = \frac{1200}{59} \approx 20.3$

$11000x - 120000 \le 6800x$ より $4200x \le 120000$ なので $x \le \frac{120000}{4200} = \frac{1200}{42} = \frac{200}{7} \approx 28.6$

$10 \le x \le 25$ より、$21 \le x \le 25$

(ii) $26 \le x \le 50$ のとき、

$5100x \le 12000x - 210000 \le 6800x$

$5100x \le 12000x - 210000$ より $210000 \le 6900x$ なので $x \ge \frac{210000}{6900} = \frac{2100}{69} = \frac{700}{23} \approx 30.4$

$12000x - 210000 \le 6800x$ より $5200x \le 210000$ なので $x \le \frac{210000}{5200} = \frac{2100}{52} = \frac{525}{13} \approx 40.4$

$26 \le x \le 50$ より、$31 \le x \le 40$

したがって、$21 \le x \le 25$ または $31 \le x \le 40$

3. 最終的な答え

(1) $a = 20000$

(2) $A = 20a - 220000$, $B = 30a - 360000$, $12000 \le a \le 17000$

(3) $21 \le x \le 25$ または $31 \le x \le 40$