ベクトル $A = 2i + j + 2k$, $B = 2i + 2j + 2k$, $C = i + j + 3k$ が与えられたとき、以下の値を求めます。 a) $A \cdot (B - C)$ b) $|(C - 2B) \times A|$ c) $\varphi = 4xy - y^2z^3$ のときの $\Delta \varphi$ d) ベクトル $A, B, C$ で作られる平行六面体の体積

1. 問題の内容

ベクトル $A = 2i + j + 2k$, $B = 2i + 2j + 2k$, $C = i + j + 3k$ が与えられたとき、以下の値を求めます。

a) $A \cdot (B - C)$

b) $|(C - 2B) \times A|$

c) $\varphi = 4xy - y^2z^3$ のときの $\Delta \varphi$

d) ベクトル $A, B, C$ で作られる平行六面体の体積

2. 解き方の手順

a) $A \cdot (B - C)$ を計算します。

まず、$B - C$ を計算します。

$B - C = (2i + 2j + 2k) - (i + j + 3k) = i + j - k$

次に、$A \cdot (B - C)$ を計算します。

$A \cdot (B - C) = (2i + j + 2k) \cdot (i + j - k) = 2(1) + 1(1) + 2(-1) = 2 + 1 - 2 = 1$

b) $|(C - 2B) \times A|$ を計算します。

まず、$C - 2B$ を計算します。

$C - 2B = (i + j + 3k) - 2(2i + 2j + 2k) = (i + j + 3k) - (4i + 4j + 4k) = -3i - 3j - k$

次に、$(C - 2B) \times A$ を計算します。

$(C - 2B) \times A = (-3i - 3j - k) \times (2i + j + 2k) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ -3 & -3 & -1 \\ 2 & 1 & 2 \end{vmatrix} = i((-3)(2) - (-1)(1)) - j((-3)(2) - (-1)(2)) + k((-3)(1) - (-3)(2)) = i(-6 + 1) - j(-6 + 2) + k(-3 + 6) = -5i + 4j + 3k$

次に、$|(C - 2B) \times A|$ を計算します。

$|(C - 2B) \times A| = \sqrt{(-5)^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$

c) $\varphi = 4xy - y^2z^3$ のときの $\Delta \varphi$ を計算します。ここで $\Delta \varphi = \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2}$ です。

$\frac{\partial \varphi}{\partial x} = 4y$

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} = 0$

$\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 4x - 2yz^3$

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = -2z^3$

$\frac{\partial \varphi}{\partial z} = -3y^2z^2$

$\frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} = -6y^2z$

$\Delta \varphi = 0 - 2z^3 - 6y^2z = -2z^3 - 6y^2z$

d) ベクトル $A, B, C$ で作られる平行六面体の体積を計算します。これはスカラー三重積 $|A \cdot (B \times C)|$ で求められます。

$B \times C = (2i + 2j + 2k) \times (i + j + 3k) = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = i((2)(3) - (2)(1)) - j((2)(3) - (2)(1)) + k((2)(1) - (2)(1)) = i(6 - 2) - j(6 - 2) + k(2 - 2) = 4i - 4j + 0k$

$A \cdot (B \times C) = (2i + j + 2k) \cdot (4i - 4j + 0k) = 2(4) + 1(-4) + 2(0) = 8 - 4 + 0 = 4$

平行六面体の体積は $|A \cdot (B \times C)| = |4| = 4$

3. 最終的な答え

a) 1

b) $5\sqrt{2}$

c) $-2z^3 - 6y^2z$

d) 4