与えられた微分方程式とその一般解が正しいかどうかを判断する問題がいくつかあります。また、初期条件が与えられた微分方程式の特殊解を求める問題もあります。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式とその一般解が正しいかどうかを判断する問題がいくつかあります。また、初期条件が与えられた微分方程式の特殊解を求める問題もあります。

2. 解き方の手順

(a) から (h) までの問題は、与えられた一般解を微分して、元の微分方程式を満たすかどうかを確認します。

(b) $y'=3y$ [$y=Ce^{3x}$]

$y = Ce^{3x}$ を微分すると $y' = 3Ce^{3x}$ となります。

$y' = 3y$ に代入すると、$3Ce^{3x} = 3(Ce^{3x})$ となり、これは成り立ちます。

(c) $y'=3y$ [$y=e^{3x}$]

$y = e^{3x}$ を微分すると $y' = 3e^{3x}$ となります。

$y' = 3y$ に代入すると、$3e^{3x} = 3(e^{3x})$ となり、これは成り立ちません。この解答は誤りです。一般解が誤っています。正しくは $y = Ce^{3x}$ です。

1.5 の問題は、与えられた一般解 $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + C_1t + C_2$ に対して、初期条件 $y(0) = y_0$ および $y'(0) = v_0$ を用いて、積分定数 $C_1$ と $C_2$ を決定します。

$y(0) = -\frac{1}{2}g(0)^2 + C_1(0) + C_2 = C_2 = y_0$

$y'(t) = -gt + C_1$

$y'(0) = -g(0) + C_1 = C_1 = v_0$

したがって、$C_1 = v_0$ および $C_2 = y_0$ となり、特殊解は $y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + y_0$ となります。

1.6(b)の問題は、$LI' + RI = E$ の一般解が $I(t) = Ce^{-(R/L)t} + \frac{E}{R}$ であり、初期条件 $I(0)=0$ を満たす特殊解を求める。

$I(0) = Ce^{-(R/L)(0)} + \frac{E}{R} = C + \frac{E}{R} = 0$

よって、$C = -\frac{E}{R}$ となり、特殊解は $I(t) = -\frac{E}{R}e^{-(R/L)t} + \frac{E}{R} = \frac{E}{R}(1 - e^{-(R/L)t})$ となります。

3. 最終的な答え

1.5 の答え:

$y(t) = -\frac{1}{2}gt^2 + v_0t + y_0$

1.6(b) の答え:

$I(t) = \frac{E}{R}(1 - e^{-(R/L)t})$