定価200円の商品がA商店とB商店で異なる価格で販売されています。A商店では定価のm%で販売し、B商店では200個以下は定価、200個を超える分は定価のn%で販売します。ただし、m, nは自然数です。 (1) A商店で60,000円で350個購入できるようなmの最大値Mを求めます。 (2) mを(1)で求めたMとしたとき、500個購入する場合にA商店よりもB商店で購入する方が安くなるようなnの最大値Nを求めます。

1. 問題の内容

定価200円の商品がA商店とB商店で異なる価格で販売されています。A商店では定価のm%で販売し、B商店では200個以下は定価、200個を超える分は定価のn%で販売します。ただし、m, nは自然数です。

(1) A商店で60,000円で350個購入できるようなmの最大値Mを求めます。

(2) mを(1)で求めたMとしたとき、500個購入する場合にA商店よりもB商店で購入する方が安くなるようなnの最大値Nを求めます。

2. 解き方の手順

(1) A商店での購入金額は、350個を定価200円のm%で購入するので、

$350 \times 200 \times \frac{m}{100} = 700m$

これが60,000円以下になる必要があるため、

$700m \leq 60000$

$m \leq \frac{60000}{700} = \frac{600}{7} \approx 85.71$

mは自然数なので、最大値Mは85となります。

(2) A商店で500個購入する場合の金額は、m=85なので、

$500 \times 200 \times \frac{85}{100} = 100000 \times \frac{85}{100} = 85000$円

B商店で500個購入する場合の金額は、200個までは定価、残りの300個は定価のn%なので、

$200 \times 200 + 300 \times 200 \times \frac{n}{100} = 40000 + 600n$

B商店の方が安くなるには、

$40000 + 600n < 85000$

$600n < 45000$

$n < \frac{45000}{600} = \frac{450}{6} = 75$

nは自然数なので、最大値Nは74となります。

3. 最終的な答え

(1) M = 85

(2) N = 74