エアギャップのあるトロイダルコイルの直列磁気抵抗 $R_m$ を求める問題です。与えられたパラメータは、断面積 $A = 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$、エアギャップの長さ $g = 0.01 \, \text{m}$、鉄心の平均長 $l = 0.1 \, \text{m}$、鉄心の比透磁率 $\mu_r = 1000$ です。

1. 問題の内容

エアギャップのあるトロイダルコイルの直列磁気抵抗 $R_m$ を求める問題です。与えられたパラメータは、断面積 $A = 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^2$、エアギャップの長さ $g = 0.01 \, \text{m}$、鉄心の平均長 $l = 0.1 \, \text{m}$、鉄心の比透磁率 $\mu_r = 1000$ です。

2. 解き方の手順

まず、鉄心部分の磁気抵抗 $R_{m, \text{core}}$ と、エアギャップ部分の磁気抵抗 $R_{m, \text{gap}}$ をそれぞれ計算します。

磁気抵抗の一般的な式は次の通りです。

$R_m = \frac{l}{\mu A}$

ここで、$l$ は磁路長、$A$ は断面積、$\mu$ は透磁率です。透磁率 $\mu$ は、真空の透磁率 $\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m}$ と比透磁率 $\mu_r$ の積で表されます。すなわち、$\mu = \mu_0 \mu_r$ となります。

鉄心の磁気抵抗 $R_{m, \text{core}}$ は、次の式で計算できます。

$R_{m, \text{core}} = \frac{l}{\mu_0 \mu_r A} = \frac{0.1 \, \text{m}}{4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} \times 1000 \times 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^2}$

エアギャップの磁気抵抗 $R_{m, \text{gap}}$ は、次の式で計算できます。エアギャップの比透磁率は $\mu_r = 1$ です。

$R_{m, \text{gap}} = \frac{g}{\mu_0 A} = \frac{0.01 \, \text{m}}{4\pi \times 10^{-7} \, \text{H/m} \times 4 \times 10^{-4} \, \text{m}^2}$

トロイダルコイル全体の磁気抵抗 $R_m$ は、鉄心部分の磁気抵抗 $R_{m, \text{core}}$ とエアギャップ部分の磁気抵抗 $R_{m, \text{gap}}$ の和で表されます。

$R_m = R_{m, \text{core}} + R_{m, \text{gap}}$

各値を計算すると次のようになります。

$R_{m, \text{core}} = \frac{0.1}{4\pi \times 10^{-7} \times 1000 \times 4 \times 10^{-4}} \approx 1.989 \times 10^5 \, \text{A/Wb}$

$R_{m, \text{gap}} = \frac{0.01}{4\pi \times 10^{-7} \times 4 \times 10^{-4}} \approx 1.989 \times 10^7 \, \text{A/Wb}$

したがって、全体の磁気抵抗は

$R_m = 1.989 \times 10^5 + 1.989 \times 10^7 \approx 2.009 \times 10^7 \, \text{A/Wb}$

3. 最終的な答え

$2.01 \times 10^{7} \, \text{A/Wb}$